De la información proporcionada, tenemos que:
a) El intervalo de confianza de 95% de la proporción que favorece al candidato republicano es (0.489, 0.551).
b) Probabilidad de 0.1029 = 10.29% que el candidato demócrata sea el líder real.
c) Probabilidad de 0.0143 = 1.43% que el candidato demócrata sea el líder real.
Item a:
En un amostra de n personas, con probabilidad de éxito [tex]\pi[/tex], e un nível de confianza de [tex]\alpha[/tex], hay el seguiente intervalo de confianza de la proporción.
[tex]\pi \pm z\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}[/tex]
En que z es el valor crítico.
En este problema:
- 1,000 votantes, por eso [tex]n = 1000[/tex]
- 52% de la muestra prefiere el candidato republicano, por eso [tex]\pi = 0.48[/tex]
95% confidence level
[tex]\alpha = 0.95[/tex], por eso z es el valor de Z con un p-value [tex]\frac{1+0.95}{2} = 0.975[/tex], asi que [tex]z = 1.96[/tex].
El límite inferior de este intervalo es:
[tex]\pi - z\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} = 0.52 - 1.96\sqrt{\frac{0.52(0.48)}{1000}} = 0.489[/tex]
El límite superior de este intervalo es:
[tex]\pi + z\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} = 0.52 + 1.96\sqrt{\frac{0.52(0.48)}{1000}} = 0.551[/tex]
El intervalo de confianza de 95% de la proporción que favorece al candidato republicano es (0.489, 0.551).
Item b:
En una distribución normal con média [tex]\mu[/tex] y deviación estandár [tex]\sigma[/tex], el z-score de un medida X es dado por:
[tex]Z = \frac{X - \mu}{\sigma}[/tex]
- El z-score mide cuántas desviaciones estándar tiene la medida de la media.
-
Después de encontrar el puntaje z, miramos la tabla z y encontramos el p-value asociado con este puntaje z, que es el percentil de X.
- Según el teorema del límite central, para una proporción p en una amuestra de tamaño n, la média es [tex]\mu = p[/tex], encuanto la deviación estandár es [tex]\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}[/tex]
En este problema:
- Amuestra de 1,000, por eso [tex]n = 1000[/tex].
- 48% de la amuestra prefiere el candidato democrata, por eso [tex]p = 0.48[/tex]
La média e la deviación estandár son:
[tex]\mu = p = 0.48[/tex]
[tex]\sigma = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.48(0.52)}{1000}} = 0.0158[/tex]
La probabilidad es 1 restada de el p-value de z quando X = 0.5.
[tex]Z = \frac{X - \mu}{\sigma}[/tex]
[tex]Z = \frac{0.5 - 0.48}{0.0158}[/tex]
[tex]Z = 1.265[/tex]
[tex]Z = 1.265[/tex] tiene un p-value de 0.8971.
1 - 0.8971 = 0.1029
Probabilidad de 0.1029 = 10.29% que el candidato demócrata sea el líder real.
Item c:
Ahora, hay [tex]n = 3000[/tex], por eso:
[tex]\sigma = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.48(0.52)}{3000}} = 0.0091[/tex]
[tex]Z = \frac{X - \mu}{\sigma}[/tex]
[tex]Z = \frac{0.5 - 0.48}{0.0091}[/tex]
[tex]Z = 2.19[/tex]
[tex]Z = 2.19[/tex] tiene un p-value de 0.9857.
1 - 0.9857 = 0.0143
Probabilidad de 0.0143 = 1.43% que el candidato demócrata sea el líder real.
A similar problem is given at https://brainly.com/question/25354224
