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### TEMA: Movimiento en el plano con vectores
### CONCEPTOS:
El objetivo es analizar el movimiento de un barco a través de un río utilizando vectores de posición y velocidad en un sistema de coordenadas.
### Ejercicio
Dado el vector de posición del barco en función del tiempo [tex]\( t \)[/tex], expresado en unidades del Sistema Internacional como:
[tex]\[ \mathbf{r}(t) = 4t^2\mathbf{i} + t\mathbf{j} \][/tex]
1) Expresión del vector velocidad instantánea:
Para encontrar la expresión del vector velocidad instantánea, debemos derivar el vector de posición [tex]\(\mathbf{r}(t)\)[/tex] respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex].
[tex]\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} \][/tex]
La derivada de cada componente del vector de posición con respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex] es:
- La componente [tex]\( x \)[/tex] de [tex]\(\mathbf{r}(t)\)[/tex] es [tex]\( 4t^2 \)[/tex]. Su derivada con respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t \][/tex]
- La componente [tex]\( y \)[/tex] de [tex]\(\mathbf{r}(t)\)[/tex] es [tex]\( t \)[/tex]. Su derivada con respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{d}{dt}(t) = 1 \][/tex]
Por lo tanto, la expresión del vector velocidad instantánea es:
[tex]\[ \mathbf{v}(t) = 8t\mathbf{i} + \mathbf{j} \][/tex]
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2) Valor del vector velocidad instantánea para [tex]\( t = 3 \)[/tex] s y su módulo:
Para encontrar el vector velocidad instantánea en [tex]\( t = 3 \)[/tex] s, sustituimos [tex]\( t = 3 \)[/tex] en la expresión del vector velocidad:
[tex]\[ \mathbf{v}(3) = 8 \cdot 3 \mathbf{i} + \mathbf{j} = 24\mathbf{i} + \mathbf{j} \][/tex]
Así, el vector velocidad instantánea en [tex]\( t = 3 \)[/tex] s es:
[tex]\[ \mathbf{v}(3) = [24, 1] \][/tex]
Ahora, para encontrar el módulo del vector velocidad instantánea, utilizamos la fórmula del módulo de un vector [tex]\(\mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} \)[/tex]:
[tex]\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]
Aplicando esto a nuestro vector [tex]\(\mathbf{v}(3) = [24, 1]\)[/tex]:
[tex]\[ \|\mathbf{v}(3)\| = \sqrt{24^2 + 1^2} = \sqrt{576 + 1} = \sqrt{577} \][/tex]
El módulo del vector velocidad instantánea para [tex]\( t = 3 \)[/tex] s es, aproximadamente:
[tex]\[ \|\mathbf{v}(3)\| \approx 24.02 \][/tex]
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Recapitulando, el vector velocidad instantánea en [tex]\( t = 3 \)[/tex] s es:
[tex]\[ \mathbf{v}(3) = [24, 1] \][/tex]
Y su módulo es, aproximadamente:
[tex]\[ \|\mathbf{v}(3)\| \approx 24.02 \][/tex]
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