Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:
1. Definición de Variables:
- Sea [tex]\( w \)[/tex] el ancho del terreno en metros.
- Dado que el largo es el doble del ancho, entonces el largo es [tex]\( 2w \)[/tex] metros.
2. Área Original del Terreno:
- El área original del terreno es [tex]\( w \times 2w = 2w^2 \)[/tex].
3. Nuevas Dimensiones:
- Si el largo aumenta en 6 metros, el nuevo largo será [tex]\( 2w + 6 \)[/tex] metros.
- Si el ancho aumenta en 2 metros, el nuevo ancho será [tex]\( w + 2 \)[/tex] metros.
4. Área Duplicada:
- El área duplicada del terreno se calcula como [tex]\( 2 \times (Área\ Original) = 2 \times 2w^2 = 4w^2 \)[/tex].
5. Ecuación para el Nuevo Área:
- La nueva área también puede expresarse como [tex]\( (w + 2) \times (2w + 6) \)[/tex].
- Igualamos esta nueva área con el doble del área original: [tex]\( (w + 2) \times (2w + 6) = 4w^2 \)[/tex].
6. Solución de la Ecuación:
- Desarrollamos y simplificamos la ecuación:
[tex]\[
(w + 2)(2w + 6) = 4w^2
\][/tex]
[tex]\[
2w^2 + 6w + 4w + 12 = 4w^2
\][/tex]
[tex]\[
2w^2 + 10w + 12 = 4w^2
\][/tex]
[tex]\[
10w + 12 = 2w^2
\][/tex]
[tex]\[
2w^2 - 10w - 12 = 0
\][/tex]
- Resolviendo esta ecuación cuadrática, encontramos dos raíces: [tex]\( w = -1 \)[/tex] y [tex]\( w = 6 \)[/tex].
7. Validación de Soluciones:
- Descartamos [tex]\( w = -1 \)[/tex] porque no tiene sentido en el contexto de dimensiones físicas negativas.
- Quedamos con [tex]\( w = 6 \)[/tex].
8. Determinación de las Dimensiones:
- Si [tex]\( w = 6 \)[/tex]:
- Ancho = 6 metros.
- Largo = 2w = 2 \times 6 = 12 metros.
Por lo tanto, las dimensiones del terreno son 6 metros de ancho y 12 metros de largo.
La respuesta correcta es C) 6 y 12.
