Para determinar cómo varía el área de un rectángulo cuando se disminuye su ancho en un 40% y se aumenta su largo en un 30%, sigamos estos pasos:
### Paso 1: Establecer el área inicial del rectángulo
Supongamos que el ancho inicial del rectángulo [tex]\(w\)[/tex] es 1 unidad y la longitud inicial [tex]\(l\)[/tex] también es 1 unidad. El área inicial [tex]\(A_{\text{inicial}}\)[/tex] del rectángulo se calcula multiplicando el ancho por la longitud:
[tex]\[ A_{\text{inicial}} = w \cdot l = 1 \cdot 1 = 1 \, \text{unidad cuadrada} \][/tex]
### Paso 2: Ajustar las dimensiones según los cambios dados
- Ancho nuevo: Disminuimos el ancho en un 40%. Esto significa que el nuevo ancho [tex]\(w_{\text{nuevo}}\)[/tex] será:
[tex]\[ w_{\text{nuevo}} = w \times (1 - 0.40) = 1 \times 0.60 = 0.60 \, \text{unidades} \][/tex]
- Longitud nueva: Aumentamos la longitud en un 30%. Esto significa que la nueva longitud [tex]\(l_{\text{nueva}}\)[/tex] será:
[tex]\[ l_{\text{nueva}} = l \times (1 + 0.30) = 1 \times 1.30 = 1.30 \, \text{unidades} \][/tex]
### Paso 3: Calcular el área nueva del rectángulo
El área nueva [tex]\(A_{\text{nuevo}}\)[/tex] del rectángulo se calcula multiplicando el nuevo ancho por la nueva longitud:
[tex]\[ A_{\text{nuevo}} = w_{\text{nuevo}} \cdot l_{\text{nueva}} = 0.60 \times 1.30 = 0.78 \, \text{unidades cuadradas} \][/tex]
### Paso 4: Determinar la variación porcentual en el área
Para calcular la variación porcentual en el área, usamos la siguiente fórmula:
[tex]\[ \text{Variación porcentual} = \left( \frac{A_{\text{nuevo}} - A_{\text{inicial}}}{A_{\text{inicial}}} \right) \times 100 \][/tex]
Sustituimos los valores obtenidos:
[tex]\[ \text{Variación porcentual} = \left( \frac{0.78 - 1}{1} \right) \times 100 = \left( -0.22 \right) \times 100 = -22\% \][/tex]
### Conclusión
La variación porcentual en el área es de un -22%, lo que significa que el área del rectángulo disminuye en un 22%. Por tanto, la respuesta correcta es:
E) 22%
