Claro, para resolver cómo muchos años se necesita para que una inversión inicial de [tex]$2500 crezca a $[/tex]6000 o más con una tasa de interés del 6.25% compuesto anualmente, podemos utilizar la fórmula del interés compuesto:
[tex]\[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \][/tex]
Dónde:
- [tex]\( A \)[/tex] es la cantidad final deseada (en este caso, [tex]$6000).
- \( P \) es el principal o cantidad inicial (en este caso, $[/tex]2500).
- [tex]\( r \)[/tex] es la tasa de interés anual (en este caso, 6.25% o 0.0625 en decimal).
- [tex]\( n \)[/tex] es el número de veces que se compone el interés por año (en este caso, 1 porque es anualmente).
- [tex]\( t \)[/tex] es el número de años que queremos encontrar.
Podemos reformular esta ecuación para despejar [tex]\( t \)[/tex].
Para empezar, configuramos nuestra ecuación:
[tex]\[ 6000 = 2500 \left(1 + 0.0625\right)^t \][/tex]
Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 1 + 0.0625 = 1.0625 \][/tex]
Entonces tenemos:
[tex]\[ 6000 = 2500 \cdot 1.0625^t \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 2500 para aislar el término con [tex]\( t \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{6000}{2500} = 1.0625^t \][/tex]
Esto se simplifica a:
[tex]\[ 2.4 = 1.0625^t \][/tex]
Para encontrar [tex]\( t \)[/tex], necesitamos usar logaritmos. Tomemos el logaritmo natural en ambos lados:
[tex]\[ \ln(2.4) = \ln(1.0625^t) \][/tex]
Utilizamos la propiedad de los logaritmos que nos permite sacar el exponente:
[tex]\[ \ln(2.4) = t \cdot \ln(1.0625) \][/tex]
Despejamos [tex]\( t \)[/tex]:
[tex]\[ t = \frac{\ln(2.4)}{\ln(1.0625)} \][/tex]
Ahora calculamos los valores de los logaritmos:
[tex]\[ \ln(2.4) \approx 0.87547 \][/tex]
[tex]\[ \ln(1.0625) \approx 0.06098 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ t = \frac{0.87547}{0.06098} \approx 14.35 \][/tex]
Por lo tanto, el tiempo necesario para que la inversión crezca a [tex]$6000 o más es aproximadamente 14.35 años. Sin embargo, como queremos el menor número entero de años completo y no podemos tener una fracción de año en este caso, redondeamos al entero siguiente más cercano.
Por lo tanto, se necesitarían 15 años para que la inversión crezca a $[/tex]6000 o más con una tasa de interés compuesto anual del 6.25%.
