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Se desea construir una pecera en forma de prisma de base cuadrada (sin tapa) con un volumen de
108m³, si el lado de base es el doble de altura. ¿Cuál el área de superficie total de la pecera?
O 160m²
O 96m²
O 144m²

Sagot :

GinnyAnswer
Para resolver este problema, sigamos los pasos detalladamente:

1. Definición de variables:
- Sea [tex]\( h \)[/tex] la altura de la pecera.
- Dado que el lado de la base es el doble de la altura, definimos que el lado de la base es [tex]\( 2h \)[/tex].

2. Cálculo del volumen:
- El volumen de un prisma es igual al área de la base multiplicada por la altura.
- El área de la base ([tex]\( A_{\text{base}} \)[/tex]) de la pecera es el área de un cuadrado de lado [tex]\( 2h \)[/tex], por lo que:

[tex]\[ A_{\text{base}} = (2h)^2 = 4h^2 \][/tex]

- El volumen ([tex]\( V \)[/tex]) es entonces:

[tex]\[ V = A_{\text{base}} \times h = 4h^2 \times h = 4h^3 \][/tex]

3. Determinar la altura:
- Sabemos que el volumen es 108 m³, entonces:

[tex]\[ 4h^3 = 108 \][/tex]

- Resolviendo para [tex]\( h \)[/tex]:

[tex]\[ h^3 = \frac{108}{4} = 27 \][/tex]

[tex]\[ h = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ m} \][/tex]

4. Calcular el lado de la base:
- Como el lado de la base es doble de la altura:

[tex]\[ \text{lado de la base} = 2h = 2 \times 3 = 6 \text{ m} \][/tex]

5. Área de la base:
- El área de la base es:

[tex]\[ A_{\text{base}} = (2h)^2 = 6^2 = 36 \text{ m}^2 \][/tex]

6. Cálculo del área lateral:
- La pecera tiene 4 lados, y cada lado es un rectángulo cuya altura es [tex]\( h \)[/tex] y el ancho es el lado de la base (6 m).
- El área de un solo lado es:

[tex]\[ A_{\text{lado}} = 6 \times 3 = 18 \text{ m}^2 \][/tex]

- La suma del área de los cuatro lados (área lateral total) es:

[tex]\[ A_{\text{lateral}} = 4 \times 18 = 72 \text{ m}^2 \][/tex]

7. Cálculo del área de la superficie total:
- El área de superficie total de la pecera (sumando la base y los lados) es:

[tex]\[ A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 36 + 72 = 108 \text{ m}^2 \][/tex]

Conclusión: El área de superficie total de la pecera es de [tex]\( \boxed{108 \text{ m}^2} \)[/tex].
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