Para resolver este problema, sigamos los pasos detalladamente:
1. Definición de variables:
- Sea [tex]\( h \)[/tex] la altura de la pecera.
- Dado que el lado de la base es el doble de la altura, definimos que el lado de la base es [tex]\( 2h \)[/tex].
2. Cálculo del volumen:
- El volumen de un prisma es igual al área de la base multiplicada por la altura.
- El área de la base ([tex]\( A_{\text{base}} \)[/tex]) de la pecera es el área de un cuadrado de lado [tex]\( 2h \)[/tex], por lo que:
[tex]\[
A_{\text{base}} = (2h)^2 = 4h^2
\][/tex]
- El volumen ([tex]\( V \)[/tex]) es entonces:
[tex]\[
V = A_{\text{base}} \times h = 4h^2 \times h = 4h^3
\][/tex]
3. Determinar la altura:
- Sabemos que el volumen es 108 m³, entonces:
[tex]\[
4h^3 = 108
\][/tex]
- Resolviendo para [tex]\( h \)[/tex]:
[tex]\[
h^3 = \frac{108}{4} = 27
\][/tex]
[tex]\[
h = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ m}
\][/tex]
4. Calcular el lado de la base:
- Como el lado de la base es doble de la altura:
[tex]\[
\text{lado de la base} = 2h = 2 \times 3 = 6 \text{ m}
\][/tex]
5. Área de la base:
- El área de la base es:
[tex]\[
A_{\text{base}} = (2h)^2 = 6^2 = 36 \text{ m}^2
\][/tex]
6. Cálculo del área lateral:
- La pecera tiene 4 lados, y cada lado es un rectángulo cuya altura es [tex]\( h \)[/tex] y el ancho es el lado de la base (6 m).
- El área de un solo lado es:
[tex]\[
A_{\text{lado}} = 6 \times 3 = 18 \text{ m}^2
\][/tex]
- La suma del área de los cuatro lados (área lateral total) es:
[tex]\[
A_{\text{lateral}} = 4 \times 18 = 72 \text{ m}^2
\][/tex]
7. Cálculo del área de la superficie total:
- El área de superficie total de la pecera (sumando la base y los lados) es:
[tex]\[
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 36 + 72 = 108 \text{ m}^2
\][/tex]
Conclusión: El área de superficie total de la pecera es de [tex]\( \boxed{108 \text{ m}^2} \)[/tex].
