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Sagot :
Para hallar el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, utilizamos el teorema de Pitágoras. Este teorema establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Matemáticamente, esto se expresa como:
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
donde [tex]\( c \)[/tex] es el valor de uno de los catetos e [tex]\( h \)[/tex] es el valor de la hipotenusa.
A continuación, resolveremos cada inciso por separado:
### a. [tex]\( c = 4 \, \text{km} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 4^2 + 4^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 16 + 16 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 32 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{32} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 5.656854249492381 \, \text{km} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 5.656854249492381 \, \text{km} \)[/tex].
### b. [tex]\( c = 11 \, \text{m} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 11^2 + 11^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 121 + 121 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 242 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{242} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 15.556349186104045 \, \text{m} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 15.556349186104045 \, \text{m} \)[/tex].
### c. [tex]\( c = 9 \, \text{cm} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 9^2 + 9^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 81 + 81 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 162 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{162} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 12.727922061357855 \, \text{cm} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 12.727922061357855 \, \text{cm} \)[/tex].
### d. [tex]\( c = 15 \, \text{mm} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 15^2 + 15^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 225 + 225 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 450 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{450} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 21.213203435596427 \, \text{mm} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 21.213203435596427 \, \text{mm} \)[/tex].
En resumen, las hipotenusas para los diferentes valores de los catetos son:
- Para [tex]\( c = 4 \, \text{km} \)[/tex], [tex]\( h \approx 5.656854249492381 \, \text{km} \)[/tex].
- Para [tex]\( c = 11 \, \text{m} \)[/tex], [tex]\( h \approx 15.556349186104045 \, \text{m} \)[/tex].
- Para [tex]\( c = 9 \, \text{cm} \)[/tex], [tex]\( h \approx 12.727922061357855 \, \text{cm} \)[/tex].
- Para [tex]\( c = 15 \, \text{mm} \)[/tex], [tex]\( h \approx 21.213203435596427 \, \text{mm} \)[/tex].
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
donde [tex]\( c \)[/tex] es el valor de uno de los catetos e [tex]\( h \)[/tex] es el valor de la hipotenusa.
A continuación, resolveremos cada inciso por separado:
### a. [tex]\( c = 4 \, \text{km} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 4^2 + 4^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 16 + 16 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 32 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{32} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 5.656854249492381 \, \text{km} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 5.656854249492381 \, \text{km} \)[/tex].
### b. [tex]\( c = 11 \, \text{m} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 11^2 + 11^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 121 + 121 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 242 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{242} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 15.556349186104045 \, \text{m} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 15.556349186104045 \, \text{m} \)[/tex].
### c. [tex]\( c = 9 \, \text{cm} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 9^2 + 9^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 81 + 81 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 162 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{162} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 12.727922061357855 \, \text{cm} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 12.727922061357855 \, \text{cm} \)[/tex].
### d. [tex]\( c = 15 \, \text{mm} \)[/tex]
[tex]\[ c^2 + c^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 15^2 + 15^2 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 225 + 225 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ 450 = h^2 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt{450} \][/tex]
[tex]\[ h \approx 21.213203435596427 \, \text{mm} \][/tex]
Por lo tanto, la hipotenusa es aproximadamente [tex]\( 21.213203435596427 \, \text{mm} \)[/tex].
En resumen, las hipotenusas para los diferentes valores de los catetos son:
- Para [tex]\( c = 4 \, \text{km} \)[/tex], [tex]\( h \approx 5.656854249492381 \, \text{km} \)[/tex].
- Para [tex]\( c = 11 \, \text{m} \)[/tex], [tex]\( h \approx 15.556349186104045 \, \text{m} \)[/tex].
- Para [tex]\( c = 9 \, \text{cm} \)[/tex], [tex]\( h \approx 12.727922061357855 \, \text{cm} \)[/tex].
- Para [tex]\( c = 15 \, \text{mm} \)[/tex], [tex]\( h \approx 21.213203435596427 \, \text{mm} \)[/tex].
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