Para resolver esta pregunta tenemos que determinar el conjunto [tex]\( C \)[/tex] definido por la expresión
[tex]\[
C = \left\{\frac{5x^2 - 3}{x} \, \Big| \, x \in \mathbb{Z} \, \text{y} \, -3 \leq 3x - 5 \leq 7\right\}
\][/tex]
Primero, resolvamos la desigualdad [tex]\( -3 \leq 3x - 5 \leq 7 \)[/tex] para [tex]\( x \)[/tex].
### Paso 1: Resolver la desigualdad
Separamos la desigualdad en dos partes y resolvemos cada una por separado.
1. [tex]\( -3 \leq 3x - 5 \)[/tex]:
[tex]\[
-3 \leq 3x - 5 \implies -3 + 5 \leq 3x \implies 2 \leq 3x \implies \frac{2}{3} \leq x
\][/tex]
2. [tex]\( 3x - 5 \leq 7 \)[/tex]:
[tex]\[
3x - 5 \leq 7 \implies 3x \leq 7 + 5 \implies 3x \leq 12 \implies x \leq 4
\][/tex]
Combinando ambas partes:
[tex]\[
\frac{2}{3} \leq x \leq 4
\][/tex]
Dado que [tex]\( x \)[/tex] debe ser un número entero, los valores posibles de [tex]\( x \)[/tex] dentro de este rango son [tex]\( x = 1, 2, 3 \)[/tex] y [tex]\( 4 \)[/tex].
### Paso 2: Calcular los elementos del conjunto [tex]\( C \)[/tex]
Para cada valor de [tex]\( x \)[/tex] en el rango determinado, calculamos la expresión [tex]\( \frac{5x^2 - 3}{x} \)[/tex]:
1. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{5(1)^2 - 3}{1} = \frac{5 - 3}{1} = 2
\][/tex]
2. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{5(2)^2 - 3}{2} = \frac{5 \cdot 4 - 3}{2} = \frac{20 - 3}{2} = \frac{17}{2} = 8.5
\][/tex]
3. Para [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{5(3)^2 - 3}{3} = \frac{5 \cdot 9 - 3}{3} = \frac{45 - 3}{3} = \frac{42}{3} = 14
\][/tex]
4. Para [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{5(4)^2 - 3}{4} = \frac{5 \cdot 16 - 3}{4} = \frac{80 - 3}{4} = \frac{77}{4} = 19.25
\][/tex]
### Paso 3: Calcular la suma de los elementos del conjunto [tex]\( C \)[/tex]
Los elementos del conjunto [tex]\( C \)[/tex] son [tex]\( 2.0, 8.5, 14.0 \)[/tex] y [tex]\( 19.25 \)[/tex]. Sumamos estos valores:
[tex]\[
2.0 + 8.5 + 14.0 + 19.25 = 43.75
\][/tex]
Por lo tanto, la suma de los elementos del conjunto [tex]\( C \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{43.75}
\][/tex]
