Untuk menemukan nilai limit [tex]\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^2-x-6}{3 x^2-5 x-2}\)[/tex], kita harus mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Substitusi Langsung: Pertama, coba substitusi [tex]\( x = 2 \)[/tex] ke dalam fungsi untuk melihat apakah kita mendapatkan bentuk tertentu.
[tex]\[
\frac{2(2)^2 - 2 - 6}{3(2)^2 - 5(2) - 2} = \frac{2 \cdot 4 - 2 - 6}{3 \cdot 4 - 10 - 2} = \frac{8 - 2 - 6}{12 - 10 - 2} = \frac{0}{0}
\][/tex]
Karena kita mendapatkan bentuk [tex]\(\frac{0}{0}\)[/tex], kita harus melakukan langkah lebih lanjut, seperti faktorisasi.
2. Faktorisasi Persamaan: Cari cara untuk memfaktorkan polinomial di pembilang dan penyebut.
Untuk pembilang [tex]\(2x^2 - x - 6\)[/tex]:
[tex]\[
2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2)
\][/tex]
Untuk penyebut [tex]\(3x^2 - 5x - 2\)[/tex]:
[tex]\[
3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2)
\][/tex]
3. Sederhanakan dengan Membagi Faktornya: Setelah difaktorkan, kita dapat membagi faktornya yang sama dari pembilang dan penyebut.
[tex]\[
\frac{(2x + 3)(x - 2)}{(3x + 1)(x - 2)}
\][/tex]
Kita dapat membagi [tex]\((x - 2)\)[/tex] di pembilang dan penyebut:
[tex]\[
\frac{2x + 3}{3x + 1}
\][/tex]
4. Substitusi Kembali: Setelah disederhanakan, kita substitusi [tex]\( x = 2 \)[/tex] lagi:
[tex]\[
\frac{2(2) + 3}{3(2) + 1} = \frac{4 + 3}{6 + 1} = \frac{7}{7} = 1
\][/tex]
Jadi, nilai [tex]\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^2-x-6}{3 x^2-5 x-2}\)[/tex] adalah [tex]\(\boxed{1}\)[/tex].
