Para factorizar el polinomio [tex]\( 2x^3 + 7x^2 + 12x + 42 \)[/tex] por agrupación, sigamos los pasos necesarios.
1. Agrupación de términos:
Empezamos agrupando los términos en dos pares:
[tex]\[
(2x^3 + 7x^2) + (12x + 42)
\][/tex]
2. Factorizar el Máximo Común Divisor (MCD) de cada grupo:
- En el primer grupo, [tex]\(2x^3 + 7x^2\)[/tex], el MCD es [tex]\(x^2\)[/tex]:
[tex]\[
2x^3 + 7x^2 = x^2(2x + 7)
\][/tex]
- En el segundo grupo, [tex]\(12x + 42\)[/tex], el MCD es [tex]\(6\)[/tex]:
[tex]\[
12x + 42 = 6(2x + 7)
\][/tex]
Así pues, después de factorizar cada grupo, obtenemos:
[tex]\[
x^2(2x + 7) + 6(2x + 7)
\][/tex]
3. Factor común entre los dos términos:
Observamos que ambos términos tienen el factor común [tex]\((2x + 7)\)[/tex]:
[tex]\[
x^2(2x + 7) + 6(2x + 7) = (2x + 7)(x^2 + 6)
\][/tex]
Por lo tanto, la factorización del polinomio [tex]\(2x^3 + 7x^2 + 12x + 42\)[/tex] por agrupación es:
[tex]\[
2x^3 + 7x^2 + 12x + 42 = (2x + 7)(x^2 + 6)
\][/tex]
