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Resuelve el siguiente problema y encierra en un círculo la respuesta correcta.

En la prensa hidráulica de la figura, los radios de los pistones son [tex]\( R_1 = 5 \text{ cm} \)[/tex] y [tex]\( R_2 = 25 \text{ cm} \)[/tex]. Cuando se aplica una fuerza [tex]\( F_1 = 350 \text{ N} \)[/tex] al pistón pequeño, éste recorre [tex]\( 10 \text{ cm} \)[/tex]. Calcular:
- La fuerza que se obtiene en el pistón mayor.
- La altura que recorre el pistón mayor.

a) [tex]\( 7580 \text{ N} ; 0,4 \text{ cm} \)[/tex]
b) [tex]\( 8750 \text{ N} ; 0,6 \text{ cm} \)[/tex]
c) [tex]\( 7580 \text{ N} ; 0,6 \text{ cm} \)[/tex]
d) [tex]\( 8750 \text{ N} ; 0,4 \text{ cm} \)[/tex]


Sagot :

Para resolver este problema, utilizaremos los principios de Pascal y la conservación de volumen. Aquí tenemos los datos dados:

- [tex]\( R_1 = 5 \, \text{cm} \)[/tex]
- [tex]\( R_2 = 25 \, \text{cm} \)[/tex]
- [tex]\( F_1 = 350 \, \text{N} \)[/tex]
- [tex]\( d_1 = 10 \, \text{cm} \)[/tex]

Primero, calculamos las áreas de los pistones:

[tex]\[ A_1 = \pi (R_1)^2 = \pi (5 \, \text{cm})^2 = 25\pi \, \text{cm}^2 \][/tex]
[tex]\[ A_2 = \pi (R_2)^2 = \pi (25 \, \text{cm})^2 = 625\pi \, \text{cm}^2 \][/tex]

Usando el principio de Pascal, la relación entre las fuerzas y las áreas de los pistones nos da:

[tex]\[ \frac{F_2}{A_2} = \frac{F_1}{A_1} \][/tex]

Despejamos [tex]\( F_2 \)[/tex]:

[tex]\[ F_2 = F_1 \frac{A_2}{A_1} \][/tex]

Sustituimos los valores conocidos:

[tex]\[ F_2 = 350 \, \text{N} \cdot \frac{625\pi \, \text{cm}^2}{25\pi \, \text{cm}^2} = 350 \, \text{N} \cdot 25 = 8750 \, \text{N} \][/tex]

Ahora, para calcular la altura que recorre el pistón mayor [tex]\( d_2 \)[/tex], utilizamos la conservación del volumen. El volumen desplazado por el pistón pequeño es igual al volumen desplazado por el pistón mayor:

[tex]\[ A_1 \cdot d_1 = A_2 \cdot d_2 \][/tex]

Despejamos [tex]\( d_2 \)[/tex]:

[tex]\[ d_2 = \frac{A_1 \cdot d_1}{A_2} \][/tex]

Sustituimos las áreas y la distancia:

[tex]\[ d_2 = \frac{25\pi \, \text{cm}^2 \cdot 10 \, \text{cm}}{625\pi \, \text{cm}^2} = \frac{250\pi \, \text{cm}^3}{625\pi \, \text{cm}^2} = 0.4 \, \text{cm} \][/tex]

Por lo tanto, la fuerza que se obtiene en el pistón mayor es 8750 N y la altura que recorre el pistón mayor es 0.4 cm. La respuesta correcta es:

d) [tex]\(8750 \, \text{N} ; 0.4 \, \text{cm} \)[/tex]