¡Claro! Desarrollemos esto paso a paso.
### Paso 1: Determinar el conjunto [tex]\( A \)[/tex]
Primero, definamos el conjunto [tex]\( A \)[/tex], que contiene todos los números enteros [tex]\( x \)[/tex] que están en el intervalo de [tex]\(-3\)[/tex] a [tex]\(10\)[/tex]:
[tex]\[ A = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \wedge -3 \leq x \leq 10\} \][/tex]
Entonces, [tex]\( A \)[/tex] es:
[tex]\[ A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \][/tex]
### Paso 2: Determinar el conjunto [tex]\( B \)[/tex]
El conjunto [tex]\( B \)[/tex] incluye todos los números naturales [tex]\( x \)[/tex] tales que [tex]\( y = 2x - 3 \)[/tex] y [tex]\( y \in A \)[/tex]:
1. Determinamos para cuáles valores de [tex]\( x \)[/tex] el cálculo de [tex]\( y = 2x - 3 \)[/tex] produce un valor que pertenece a [tex]\( A \)[/tex].
2. Asegurémonos de que [tex]\( x \)[/tex] sea un número natural ([tex]\( x \in \mathbb{N} \)[/tex]).
Veamos qué valores de [tex]\( x \)[/tex] cumplen esta condición:
- Para [tex]\( y = 2x - 3 \)[/tex], necesitamos que [tex]\( y \in A \)[/tex], o sea, [tex]\(-3 \leq 2x - 3 \leq 10\)[/tex].
Resolvamos la inecuación:
[tex]\[ -3 \leq 2x - 3 \implies 0 \leq 2x \implies 0 \leq x \][/tex]
[tex]\[ 2x - 3 \leq 10 \implies 2x \leq 13 \implies x \leq 6.5\][/tex]
Entonces, [tex]\( x \)[/tex] debe estar en el intervalo de [tex]\([0, 6]\)[/tex] y ser un número natural:
[tex]\[ B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \][/tex]
### Paso 3: Determinar el conjunto [tex]\( C \)[/tex]
El conjunto [tex]\( C \)[/tex] incluye todos los [tex]\( x \)[/tex] en [tex]\( B \)[/tex] tales que [tex]\( 4 < x + 3 < 7 \)[/tex]:
1. Resolvamos la inecuación [tex]\( 4 < x + 3 < 7 \)[/tex]:
[tex]\[ 4 < x + 3 \implies 1 < x \][/tex]
[tex]\[ x + 3 < 7 \implies x < 4 \][/tex]
Entonces, [tex]\( x \)[/tex] debe cumplir [tex]\( 1 < x < 4 \)[/tex], es decir:
[tex]\[ C = \{2, 3\} \][/tex]
### Paso 4: Hallar la suma de los elementos del conjunto [tex]\( C \)[/tex]
Sumamos los elementos de [tex]\( C \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Suma de los elementos de } C = 2 + 3 = 5 \][/tex]
Por lo tanto, la suma de los elementos del conjunto [tex]\( C \)[/tex] es:
[tex]\[ \boxed{5} \][/tex]
