¡Claro! Vamos a resolver este problema paso a paso.
Problema:
Los rieles de una vía de tren de acero tienen 1500 metros de longitud a una temperatura inicial de [tex]\(24^{\circ}C\)[/tex]. Se requiere determinar la longitud de los rieles cuando la temperatura aumenta a [tex]\(45^{\circ}C\)[/tex].
Datos proporcionados:
- Longitud inicial del riel, [tex]\( L_0 = 1500 \)[/tex] metros.
- Temperatura inicial, [tex]\( T_0 = 24^{\circ}C \)[/tex].
- Temperatura final, [tex]\( T_f = 45^{\circ}C \)[/tex].
- Coeficiente de expansión lineal del acero, [tex]\( \alpha = 11.7 \times 10^{-6} \frac{1}{^{\circ}C} \)[/tex].
### Paso 1: Calcular el cambio en la temperatura ([tex]\(\Delta T\)[/tex])
[tex]\[
\Delta T = T_f - T_0
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
\Delta T = 45^{\circ}C - 24^{\circ}C = 21^{\circ}C
\][/tex]
### Paso 2: Calcular el cambio en la longitud ([tex]\(\Delta L\)[/tex])
La fórmula para el cambio en la longitud debido a la expansión térmica lineal es:
[tex]\[
\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
\Delta L = 1500 \, \text{m} \cdot 11.7 \times 10^{-6} \frac{1}{^{\circ}C} \cdot 21^{\circ}C
\][/tex]
[tex]\[
\Delta L = 1500 \, \text{m} \cdot 0.0000117 \frac{1}{^{\circ }C} \cdot 21^{\circ}C
\][/tex]
[tex]\[
\Delta L = 0.36855 \, \text{m}
\][/tex]
Por lo tanto, el cambio en la longitud de los rieles es de [tex]\(0.36855\)[/tex] metros.
### Paso 3: Calcular la longitud final del riel ([tex]\(L_f\)[/tex])
La longitud final se obtiene sumando la longitud inicial y el cambio en la longitud:
[tex]\[
L_f = L_0 + \Delta L
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
L_f = 1500 \, \text{m} + 0.36855 \, \text{m}
\][/tex]
[tex]\[
L_f = 1500.36855 \, \text{m}
\][/tex]
### Conclusión:
La longitud de los rieles de la vía de tren de acero cuando la temperatura aumenta de [tex]\(24^{\circ}C\)[/tex] a [tex]\(45^{\circ}C\)[/tex] será de [tex]\(1500.36855\)[/tex] metros.
