Para resolver el sistema de ecuaciones con dos incógnitas, vamos a utilizar el método de reducción (también conocido como eliminación). Aquí están las ecuaciones que necesitamos resolver:
[tex]\[
\begin{array}{l}
2x + 5y = 11 \quad \text{(1)} \\
3x - y = 7 \quad \text{(2)}
\end{array}
\][/tex]
### Paso 1: Aislar una de las incógnitas
Podemos multiplicar la segunda ecuación por 5 para que al sumar o restar las ecuaciones, una de las incógnitas se elimine.
Multiplicamos la ecuación (2) por 5:
[tex]\[
5(3x - y) = 5(7) \\
15x - 5y = 35 \quad \text{(3)}
\][/tex]
### Paso 2: Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita
Ahora sumamos la ecuación (1) y la ecuación (3):
[tex]\[
\begin{array}{l}
2x + 5y = 11 \\
+ \\
15x - 5y = 35
\end{array}
\][/tex]
Al sumar estas dos ecuaciones, [tex]\(5y\)[/tex] y [tex]\(-5y\)[/tex] se cancelan:
[tex]\[
2x + 15x + 5y - 5y = 11 + 35 \\
17x = 46
\][/tex]
### Paso 3: Resolver para la incógnita restante
Dividimos ambos lados de la ecuación por 17 para resolver [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{46}{17} = \frac{46}{17} \quad \text{(simplificando se queda así)}
\][/tex]
### Paso 4: Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales
Ahora que tenemos [tex]\(x = \frac{46}{17}\)[/tex], sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\(y\)[/tex]. Usaremos la ecuación (2):
[tex]\[
3\left(\frac{46}{17}\right) - y = 7 \\
\frac{138}{17} - y = 7
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 17 para facilitar la resolución:
[tex]\[
138 - 17y = 119
\][/tex]
Restamos 138 de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
-17y = 119 - 138 \\
-17y = -19
\][/tex]
Dividimos ambos lados por -17:
[tex]\[
y = \frac{-19}{-17} = \frac{19}{17}
\][/tex]
### Resultado final
Las soluciones para el sistema de ecuaciones son:
[tex]\[
x = \frac{46}{17}, \quad y = \frac{19}{17}
\][/tex]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es [tex]\(x = \frac{46}{17}\)[/tex] y [tex]\(y = \frac{19}{17}\)[/tex].
