Vamos a calcular el valor de la serie [tex]\( S \)[/tex] mostrada en el problema. La serie se define como una suma alternada de términos de la forma [tex]\((2i-1)(2i+1)\)[/tex], donde [tex]\( i \)[/tex] varía desde 1 hasta 40. Vamos a ver los primeros términos de la serie para entender su comportamiento:
[tex]\[
S = 1 \cdot 3 - 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 - 7 \cdot 9 + 9 \cdot 11 - \ldots
\][/tex]
Podemos observar que cada término se obtiene de la siguiente manera:
- Para [tex]\(i\)[/tex] impar, el término es positivo: [tex]\((2i-1)(2i+1)\)[/tex]
- Para [tex]\(i\)[/tex] par, el término es negativo: -[tex]\((2i-1)(2i+1)\)[/tex]
El patrón en los términos se repite alternadamente (positivo, negativo, positivo, negativo, ...). Vamos a ver cómo calculamos estos productos para diferentes valores de [tex]\( i \)[/tex]:
Para [tex]\( i = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
T_1 = (2 \cdot 1 - 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 3 = 3
\][/tex]
Para [tex]\( i = 2 \)[/tex]:
[tex]\[
T_2 = - (2 \cdot 2 - 1) \cdot (2 \cdot 2 + 1) = - 3 \cdot 5 = -15
\][/tex]
Para [tex]\( i = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
T_3 = (2 \cdot 3 - 1) \cdot (2 \cdot 3 + 1) = 5 \cdot 7 = 35
\][/tex]
Para [tex]\( i = 4 \)[/tex]:
[tex]\[
T_4 = - (2 \cdot 4 - 1) \cdot (2 \cdot 4 + 1) = - 7 \cdot 9 = -63
\][/tex]
Y así sucesivamente hasta llegar al término número 40. Evaluando todos estos términos y sumándolos de acuerdo al patrón:
[tex]\[
S = 3 - 15 + 35 - 63 + \cdots
\][/tex]
Después de sumar los 40 términos de esta serie, obtenemos el valor final de [tex]\( S \)[/tex]. El resultado de la suma de todos estos términos alternados, hasta completar los 40 términos especificados, es:
[tex]\[
S = -3280
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
B) -3280
