Para determinar el módulo del vector suma de los vectores [tex]\(\overline{a} = 14 \ \text{cm}\)[/tex] y [tex]\(\overline{b} = 10 \ \text{cm}\)[/tex] en los dos casos dados, utilizamos la fórmula del módulo para la suma de dos vectores, que incorpora el coseno del ángulo entre ellos:
[tex]$ |\overline{a} + \overline{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\theta)} $[/tex]
Donde [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] son las magnitudes de los vectores [tex]\(\overline{a}\)[/tex] y [tex]\(\overline{b}\)[/tex], y [tex]\(\theta\)[/tex] es el ángulo entre ellos.
Caso a) [tex]\( \theta = 30^\circ \)[/tex] con [tex]\( \cos 30^\circ = 0.8 \)[/tex]:
[tex]\[ |\overline{a} + \overline{b}| = \sqrt{14^2 + 10^2 + 2 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 0.8} \][/tex]
Desglosando los cálculos:
1. Calculamos cada término individual:
[tex]\[
14^2 = 196
\][/tex]
[tex]\[
10^2 = 100
\][/tex]
[tex]\[
2 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 0.8 = 224
\][/tex]
2. Sumamos los resultados anteriores:
[tex]\[
196 + 100 + 224 = 520
\][/tex]
3. Tomamos la raíz cuadrada de la suma:
[tex]\[
|\overline{a} + \overline{b}| = \sqrt{520} \approx 22.80 \ \text{cm}
\][/tex]
Por lo tanto, el módulo del vector suma cuando el ángulo es [tex]\(30^\circ\)[/tex] es aproximadamente [tex]\(22.80 \ \text{cm}\)[/tex].
Caso b) [tex]\( \theta = 150^\circ \)[/tex] con [tex]\( \cos 150^\circ = -0.8 \)[/tex]:
[tex]\[ |\overline{a} + \overline{b}| = \sqrt{14^2 + 10^2 + 2 \cdot 14 \cdot 10 \cdot (-0.8)} \][/tex]
Desglosando los cálculos:
1. Calculamos cada término individual:
[tex]\[
14^2 = 196
\][/tex]
[tex]\[
10^2 = 100
\][/tex]
[tex]\[
2 \cdot 14 \cdot 10 \cdot (-0.8) = -224
\][/tex]
2. Sumamos los resultados anteriores:
[tex]\[
196 + 100 - 224 = 72
\][/tex]
3. Tomamos la raíz cuadrada de la suma:
[tex]\[
|\overline{a} + \overline{b}| = \sqrt{72} \approx 8.49 \ \text{cm}
\][/tex]
Por lo tanto, el módulo del vector suma cuando el ángulo es [tex]\(150^\circ\)[/tex] es aproximadamente [tex]\(8.49 \ \text{cm}\)[/tex].
