Para resolver este problema, consideremos primero los datos proporcionados:
Tenemos dos números [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] tal que:
1. La suma de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] es [tex]\( a + b = 6 \)[/tex].
2. El producto de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] es [tex]\( a \cdot b = 12 \)[/tex].
Con estos datos, necesitamos calcular [tex]\( a^4 + b^4 \)[/tex].
### Paso 1: Determinación de los valores de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex]
Para encontrar los valores de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex], resolvemos el sistema de ecuaciones:
[tex]\[ a + b = 6 \][/tex]
[tex]\[ a \cdot b = 12 \][/tex]
### Paso 2: Calcular [tex]\( a^4 + b^4 \)[/tex]
Una vez obtenidos los valores de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex], procedemos a calcular [tex]\( a^4 \)[/tex] y [tex]\( b^4 \)[/tex]. Sumamos estos valores para hallar [tex]\( a^4 + b^4 \)[/tex].
### Paso 3: Encontrar el opuesto de [tex]\( a^4 + b^4 \)[/tex]
El problema requiere calcular el opuesto del resultado obtenido en el paso anterior.
### Paso 4: Comparar el valor obtenido con las opciones
El resultado obtenido debe ser comparado con las opciones [tex]\( 120 \)[/tex], [tex]\( 144 \)[/tex], y [tex]\( 100 \)[/tex] para determinar cuántos días faltan para el onomástico de José.
Después de resolver el problema, encontramos que:
- Específicamente, al evaluar los valores de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex], y calcular [tex]\( (3 + \sqrt{3}i)^4 + (3 - \sqrt{3}i)^4 \)[/tex], obtenemos [tex]\( -144 \)[/tex].
El opuesto de este valor es:
[tex]\[ \boxed{144} \][/tex]
Es decir, faltan 144 días para el onomástico de José.
Así, la respuesta correcta es:
- B) 144 días
