Discover a world of knowledge at Westonci.ca, where experts and enthusiasts come together to answer your questions. Our Q&A platform offers a seamless experience for finding reliable answers from experts in various disciplines. Get precise and detailed answers to your questions from a knowledgeable community of experts on our Q&A platform.
Sagot :
Para determinar cuántos valores de [tex]\( k \)[/tex] dan al sistema lineal homogéneo soluciones distintas de la solución trivial ([tex]\( x = y = z = 0 \)[/tex]), necesitamos examinar el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. Si el determinante es cero para algún valor de [tex]\( k \)[/tex], esto indica que el sistema tiene soluciones no triviales.
Primero, escribimos la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \begin{pmatrix} 1-k & 1 & -1 \\ 2 & -k & -2 \\ 1 & -1 & -(k+1) \end{pmatrix} \][/tex]
Después, calculamos el determinante de esta matriz. El determinante de una matriz [tex]\( 3 \times 3 \)[/tex] se encuentra usando la fórmula:
[tex]\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \][/tex]
Aplicamos esta fórmula a nuestra matriz:
[tex]\[ \text{det}(A) = (1-k) \begin{vmatrix} -k & -2 \\ -1 & -(k+1) \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -(k+1) \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \][/tex]
Calculamos los determinantes menores:
[tex]\[ \begin{vmatrix} -k & -2 \\ -1 & -(k+1) \end{vmatrix} = (-k)(-(k+1)) - (-2)(-1) = k(k+1) - 2 = k^2 + k - 2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -(k+1) \end{vmatrix} = 2(-(k+1)) - (-2)(1) = -2(k+1) + 2 = -2k - 2 + 2 = -2k \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - (-k)(1) = -2 + k = k - 2 \][/tex]
Ahora sustituimos estos valores en la fórmula del determinante:
[tex]\[ \text{det}(A) = (1-k)(k^2 + k - 2) - 1(-2k) + (-1)(k - 2) \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ \text{det}(A) = (1-k)(k^2 + k - 2) + 2k - (k - 2) \][/tex]
Multiplicamos y combinamos términos:
[tex]\[ (1-k)(k^2 + k - 2) = k^2 + k - 2 - k^3 - k^2 + 2k = -k^3 + k + 2k - 2 = -k^3 + 3k - 2 \][/tex]
Así que el determinante queda:
[tex]\[ \text{det}(A) = -k^3 + 4k \][/tex]
Para encontrar los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen el determinante cero, resolvemos la ecuación:
[tex]\[ -k^3 + 4k = 0 \][/tex]
Factorizamos:
[tex]\[ k(-k^2 + 4) = 0 \][/tex]
Esto se descompone en:
[tex]\[ k(k-2)(k+2) = 0 \][/tex]
Por lo tanto, los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen el determinante cero son:
[tex]\[ k = 0, k = 2, k = -2 \][/tex]
El sistema tendrá soluciones no triviales para estos valores específicos de [tex]\( k \)[/tex]. Entonces, el sistema tiene soluciones no triviales para tres valores de [tex]\( k \)[/tex]: [tex]\( k = 0 \)[/tex], [tex]\( k = 2 \)[/tex], y [tex]\( k = -2 \)[/tex].
La respuesta final es que el sistema lineal homogéneo tiene soluciones distintas de la trivial para tres valores de [tex]\( k \)[/tex].
Primero, escribimos la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \begin{pmatrix} 1-k & 1 & -1 \\ 2 & -k & -2 \\ 1 & -1 & -(k+1) \end{pmatrix} \][/tex]
Después, calculamos el determinante de esta matriz. El determinante de una matriz [tex]\( 3 \times 3 \)[/tex] se encuentra usando la fórmula:
[tex]\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \][/tex]
Aplicamos esta fórmula a nuestra matriz:
[tex]\[ \text{det}(A) = (1-k) \begin{vmatrix} -k & -2 \\ -1 & -(k+1) \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -(k+1) \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \][/tex]
Calculamos los determinantes menores:
[tex]\[ \begin{vmatrix} -k & -2 \\ -1 & -(k+1) \end{vmatrix} = (-k)(-(k+1)) - (-2)(-1) = k(k+1) - 2 = k^2 + k - 2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -(k+1) \end{vmatrix} = 2(-(k+1)) - (-2)(1) = -2(k+1) + 2 = -2k - 2 + 2 = -2k \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - (-k)(1) = -2 + k = k - 2 \][/tex]
Ahora sustituimos estos valores en la fórmula del determinante:
[tex]\[ \text{det}(A) = (1-k)(k^2 + k - 2) - 1(-2k) + (-1)(k - 2) \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ \text{det}(A) = (1-k)(k^2 + k - 2) + 2k - (k - 2) \][/tex]
Multiplicamos y combinamos términos:
[tex]\[ (1-k)(k^2 + k - 2) = k^2 + k - 2 - k^3 - k^2 + 2k = -k^3 + k + 2k - 2 = -k^3 + 3k - 2 \][/tex]
Así que el determinante queda:
[tex]\[ \text{det}(A) = -k^3 + 4k \][/tex]
Para encontrar los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen el determinante cero, resolvemos la ecuación:
[tex]\[ -k^3 + 4k = 0 \][/tex]
Factorizamos:
[tex]\[ k(-k^2 + 4) = 0 \][/tex]
Esto se descompone en:
[tex]\[ k(k-2)(k+2) = 0 \][/tex]
Por lo tanto, los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen el determinante cero son:
[tex]\[ k = 0, k = 2, k = -2 \][/tex]
El sistema tendrá soluciones no triviales para estos valores específicos de [tex]\( k \)[/tex]. Entonces, el sistema tiene soluciones no triviales para tres valores de [tex]\( k \)[/tex]: [tex]\( k = 0 \)[/tex], [tex]\( k = 2 \)[/tex], y [tex]\( k = -2 \)[/tex].
La respuesta final es que el sistema lineal homogéneo tiene soluciones distintas de la trivial para tres valores de [tex]\( k \)[/tex].
Thank you for choosing our service. We're dedicated to providing the best answers for all your questions. Visit us again. Thank you for choosing our platform. We're dedicated to providing the best answers for all your questions. Visit us again. We're dedicated to helping you find the answers you need at Westonci.ca. Don't hesitate to return for more.
