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Sagot :
Para resolver este problema, vamos a analizar la energía mecánica en los puntos A y B, y calcular la velocidad en el punto B, siguiendo un enfoque paso a paso.
### Datos iniciales:
1. Energía mecánica total del sistema ([tex]\(E_{total}\)[/tex]) = 420 kJ = 420,000 J
2. Altura en el punto A ([tex]\(h_A\)[/tex]) = 14 m
3. Velocidad en el punto A ([tex]\(v_A\)[/tex]) = 13 m/s
4. Aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]) = 9.81 m/s²
### Paso 1: Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]):
La energía mecánica en el punto A es la suma de la energía potencial y la energía cinética en ese punto:
[tex]\[ E_{mech_{A}} = E_{PE_{A}} + E_{KE_{A}} \][/tex]
#### Energía Potencial en A ([tex]\(E_{PE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \][/tex]
#### Energía Cinética en A ([tex]\(E_{KE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Con la conservación de la energía mecánica, sabemos que [tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex] debe ser igual a la energía total del sistema dado:
[tex]\[ E_{total} = E_{mech_{A}} = m \cdot g \cdot h_A + \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Podemos despejar la masa ([tex]\(m\)[/tex]) del sistema usando esta igualdad:
[tex]\[ m = \frac{E_{total}}{g \cdot h_A + \frac{1}{2} v_A^2} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ m \approx 1893.2564 \, \text{kg} \][/tex]
Ahora, calculamos la energía potencial y cinética en A:
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \approx 260,019.83 \, \text{J} \][/tex]
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \approx 159,980.17 \, \text{J} \][/tex]
La energía mecánica en A es:
[tex]\[ E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 2: Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]):
Debido a la conservación de la energía mecánica y considerando que no hay pérdidas por fricción:
[tex]\[ E_{mech_{B}} = E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
En el punto B, que suponemos está a nivel del suelo ([tex]\(h_B = 0\)[/tex]), la energía potencial es:
[tex]\[ E_{PE_{B}} = m \cdot g \cdot h_B = 0 \, \text{J} \][/tex]
Toda la energía mecánica en B será energía cinética:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = E_{mech_{B}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 3: Cálculo de la velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]):
Usamos la relación de la energía cinética para encontrar la velocidad:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = \frac{1}{2} m \cdot v_B^2 \][/tex]
Despejamos [tex]\(v_B\)[/tex]:
[tex]\[ v_B = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{KE_{B}}}{m}} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ v_B \approx 21.06 \, \text{m/s} \][/tex]
### Resumen de resultados:
1. Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
2. Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
3. Velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]): aproximadamente 21.06 m/s
### Datos iniciales:
1. Energía mecánica total del sistema ([tex]\(E_{total}\)[/tex]) = 420 kJ = 420,000 J
2. Altura en el punto A ([tex]\(h_A\)[/tex]) = 14 m
3. Velocidad en el punto A ([tex]\(v_A\)[/tex]) = 13 m/s
4. Aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]) = 9.81 m/s²
### Paso 1: Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]):
La energía mecánica en el punto A es la suma de la energía potencial y la energía cinética en ese punto:
[tex]\[ E_{mech_{A}} = E_{PE_{A}} + E_{KE_{A}} \][/tex]
#### Energía Potencial en A ([tex]\(E_{PE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \][/tex]
#### Energía Cinética en A ([tex]\(E_{KE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Con la conservación de la energía mecánica, sabemos que [tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex] debe ser igual a la energía total del sistema dado:
[tex]\[ E_{total} = E_{mech_{A}} = m \cdot g \cdot h_A + \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Podemos despejar la masa ([tex]\(m\)[/tex]) del sistema usando esta igualdad:
[tex]\[ m = \frac{E_{total}}{g \cdot h_A + \frac{1}{2} v_A^2} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ m \approx 1893.2564 \, \text{kg} \][/tex]
Ahora, calculamos la energía potencial y cinética en A:
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \approx 260,019.83 \, \text{J} \][/tex]
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \approx 159,980.17 \, \text{J} \][/tex]
La energía mecánica en A es:
[tex]\[ E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 2: Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]):
Debido a la conservación de la energía mecánica y considerando que no hay pérdidas por fricción:
[tex]\[ E_{mech_{B}} = E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
En el punto B, que suponemos está a nivel del suelo ([tex]\(h_B = 0\)[/tex]), la energía potencial es:
[tex]\[ E_{PE_{B}} = m \cdot g \cdot h_B = 0 \, \text{J} \][/tex]
Toda la energía mecánica en B será energía cinética:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = E_{mech_{B}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 3: Cálculo de la velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]):
Usamos la relación de la energía cinética para encontrar la velocidad:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = \frac{1}{2} m \cdot v_B^2 \][/tex]
Despejamos [tex]\(v_B\)[/tex]:
[tex]\[ v_B = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{KE_{B}}}{m}} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ v_B \approx 21.06 \, \text{m/s} \][/tex]
### Resumen de resultados:
1. Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
2. Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
3. Velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]): aproximadamente 21.06 m/s
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