At Westonci.ca, we make it easy for you to get the answers you need from a community of knowledgeable individuals. Ask your questions and receive detailed answers from professionals with extensive experience in various fields. Discover in-depth answers to your questions from a wide network of professionals on our user-friendly Q&A platform.
Sagot :
Para resolver este problema, vamos a analizar la energía mecánica en los puntos A y B, y calcular la velocidad en el punto B, siguiendo un enfoque paso a paso.
### Datos iniciales:
1. Energía mecánica total del sistema ([tex]\(E_{total}\)[/tex]) = 420 kJ = 420,000 J
2. Altura en el punto A ([tex]\(h_A\)[/tex]) = 14 m
3. Velocidad en el punto A ([tex]\(v_A\)[/tex]) = 13 m/s
4. Aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]) = 9.81 m/s²
### Paso 1: Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]):
La energía mecánica en el punto A es la suma de la energía potencial y la energía cinética en ese punto:
[tex]\[ E_{mech_{A}} = E_{PE_{A}} + E_{KE_{A}} \][/tex]
#### Energía Potencial en A ([tex]\(E_{PE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \][/tex]
#### Energía Cinética en A ([tex]\(E_{KE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Con la conservación de la energía mecánica, sabemos que [tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex] debe ser igual a la energía total del sistema dado:
[tex]\[ E_{total} = E_{mech_{A}} = m \cdot g \cdot h_A + \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Podemos despejar la masa ([tex]\(m\)[/tex]) del sistema usando esta igualdad:
[tex]\[ m = \frac{E_{total}}{g \cdot h_A + \frac{1}{2} v_A^2} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ m \approx 1893.2564 \, \text{kg} \][/tex]
Ahora, calculamos la energía potencial y cinética en A:
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \approx 260,019.83 \, \text{J} \][/tex]
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \approx 159,980.17 \, \text{J} \][/tex]
La energía mecánica en A es:
[tex]\[ E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 2: Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]):
Debido a la conservación de la energía mecánica y considerando que no hay pérdidas por fricción:
[tex]\[ E_{mech_{B}} = E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
En el punto B, que suponemos está a nivel del suelo ([tex]\(h_B = 0\)[/tex]), la energía potencial es:
[tex]\[ E_{PE_{B}} = m \cdot g \cdot h_B = 0 \, \text{J} \][/tex]
Toda la energía mecánica en B será energía cinética:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = E_{mech_{B}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 3: Cálculo de la velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]):
Usamos la relación de la energía cinética para encontrar la velocidad:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = \frac{1}{2} m \cdot v_B^2 \][/tex]
Despejamos [tex]\(v_B\)[/tex]:
[tex]\[ v_B = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{KE_{B}}}{m}} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ v_B \approx 21.06 \, \text{m/s} \][/tex]
### Resumen de resultados:
1. Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
2. Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
3. Velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]): aproximadamente 21.06 m/s
### Datos iniciales:
1. Energía mecánica total del sistema ([tex]\(E_{total}\)[/tex]) = 420 kJ = 420,000 J
2. Altura en el punto A ([tex]\(h_A\)[/tex]) = 14 m
3. Velocidad en el punto A ([tex]\(v_A\)[/tex]) = 13 m/s
4. Aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]) = 9.81 m/s²
### Paso 1: Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]):
La energía mecánica en el punto A es la suma de la energía potencial y la energía cinética en ese punto:
[tex]\[ E_{mech_{A}} = E_{PE_{A}} + E_{KE_{A}} \][/tex]
#### Energía Potencial en A ([tex]\(E_{PE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \][/tex]
#### Energía Cinética en A ([tex]\(E_{KE_{A}}\)[/tex]):
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Con la conservación de la energía mecánica, sabemos que [tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex] debe ser igual a la energía total del sistema dado:
[tex]\[ E_{total} = E_{mech_{A}} = m \cdot g \cdot h_A + \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \][/tex]
Podemos despejar la masa ([tex]\(m\)[/tex]) del sistema usando esta igualdad:
[tex]\[ m = \frac{E_{total}}{g \cdot h_A + \frac{1}{2} v_A^2} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ m \approx 1893.2564 \, \text{kg} \][/tex]
Ahora, calculamos la energía potencial y cinética en A:
[tex]\[ E_{PE_{A}} = m \cdot g \cdot h_A \approx 260,019.83 \, \text{J} \][/tex]
[tex]\[ E_{KE_{A}} = \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \approx 159,980.17 \, \text{J} \][/tex]
La energía mecánica en A es:
[tex]\[ E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 2: Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]):
Debido a la conservación de la energía mecánica y considerando que no hay pérdidas por fricción:
[tex]\[ E_{mech_{B}} = E_{mech_{A}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
En el punto B, que suponemos está a nivel del suelo ([tex]\(h_B = 0\)[/tex]), la energía potencial es:
[tex]\[ E_{PE_{B}} = m \cdot g \cdot h_B = 0 \, \text{J} \][/tex]
Toda la energía mecánica en B será energía cinética:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = E_{mech_{B}} \approx 420,000 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 3: Cálculo de la velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]):
Usamos la relación de la energía cinética para encontrar la velocidad:
[tex]\[ E_{KE_{B}} = \frac{1}{2} m \cdot v_B^2 \][/tex]
Despejamos [tex]\(v_B\)[/tex]:
[tex]\[ v_B = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{KE_{B}}}{m}} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ v_B \approx 21.06 \, \text{m/s} \][/tex]
### Resumen de resultados:
1. Energía mecánica en el punto A ([tex]\(E_{mech_{A}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
2. Energía mecánica en el punto B ([tex]\(E_{mech_{B}}\)[/tex]): aproximadamente 420,000 J
3. Velocidad en el punto B ([tex]\(v_B\)[/tex]): aproximadamente 21.06 m/s
We hope our answers were helpful. Return anytime for more information and answers to any other questions you may have. Thanks for using our service. We're always here to provide accurate and up-to-date answers to all your queries. Keep exploring Westonci.ca for more insightful answers to your questions. We're here to help.
