Para resolver la ecuación [tex]\(\frac{2x^2 - 6x}{x^3 - 3x^2} = \frac{1}{5}\)[/tex] con las restricciones [tex]\(x \neq 0\)[/tex] y [tex]\(x \neq 3\)[/tex], sigamos los siguientes pasos detalladamente.
1. Simplificar la ecuación:
Comenzamos simplificando el numerador y el denominador:
[tex]\[
2x^2 - 6x = 2x(x - 3)
\][/tex]
[tex]\[
x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)
\][/tex]
Así, nuestra ecuación inicial se simplifica a:
[tex]\[
\frac{2x(x - 3)}{x^2(x - 3)} = \frac{1}{5}
\][/tex]
2. Cancelar los términos comunes:
Si [tex]\(x \neq 3\)[/tex], podemos cancelar [tex]\((x - 3)\)[/tex] en el numerador y el denominador:
[tex]\[
\frac{2x}{x^2} = \frac{1}{5}
\][/tex]
Esto se puede simplificar aún más a:
[tex]\[
\frac{2}{x} = \frac{1}{5}
\][/tex]
3. Resolver la ecuación simplificada:
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por [tex]\(x\)[/tex] para despejar [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
2 = \frac{x}{5}
\][/tex]
Luego, multiplicamos ambos lados por 5 para resolver para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
10 = x
\][/tex]
4. Verificación de soluciones inválidas:
Necesitamos verificar si la solución [tex]\(x = 10\)[/tex] cumple con las restricciones [tex]\(x \neq 0\)[/tex] y [tex]\(x \neq 3\)[/tex]. Dado que [tex]\(10 \neq 0\)[/tex] y [tex]\(10 \neq 3\)[/tex], la solución es válida.
Por lo tanto, el valor de [tex]\(x\)[/tex] que resuelve la ecuación original bajo las restricciones dadas es:
[tex]\[
\boxed{10}
\][/tex]
