Para determinar el polinomio asociado a las raíces [tex]\( x=1 \)[/tex] y [tex]\( x=4 \)[/tex], podemos seguir estos pasos detallados:
1. Identificar las raíces del polinomio. En este caso se nos han dado las raíces [tex]\( x=1 \)[/tex] y [tex]\( x=4 \)[/tex].
2. Formar los factores raíz.
Cada raíz [tex]\( r \)[/tex] de un polinomio corresponde a un factor de la forma [tex]\( (x - r) \)[/tex]. Por lo tanto, los factores asociados a las raíces [tex]\( x=1 \)[/tex] y [tex]\( x=4 \)[/tex] son [tex]\( (x - 1) \)[/tex] y [tex]\( (x - 4) \)[/tex].
3. Multiplicar los factores para obtener el polinomio.
El polinomio asociado a estas raíces se obtiene multiplicando los factores encontrados:
[tex]\[
(x - 1)(x - 4)
\][/tex]
4. Realizar la multiplicación de los binomios.
Multiplicar los dos binomios utilizando la propiedad distributiva (también conocida como FOIL en inglés: First, Outer, Inner, Last):
[tex]\[
(x - 1)(x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) + (-1) \cdot x + (-1) \cdot (-4)
\][/tex]
Calcular cada término:
[tex]\[
x \cdot x = x^2
\][/tex]
[tex]\[
x \cdot (-4) = -4x
\][/tex]
[tex]\[
-1 \cdot x = -x
\][/tex]
[tex]\[
-1 \cdot (-4) = 4
\][/tex]
5. Sumar todos los términos.
[tex]\[
x^2 + (-4x) + (-x) + 4
\][/tex]
Simplificar sumando los términos semejantes:
[tex]\[
x^2 - 5x + 4
\][/tex]
Por lo tanto, el polinomio asociado a las raíces [tex]\( x=1 \)[/tex] y [tex]\( x=4 \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{x^2 - 5x + 4}
\][/tex]
Esta es la forma expandida del polinomio cuadrático que corresponde a las raíces dadas.
