Para resolver el sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l}x + 3 = 2y \\ x - 5 = y\end{array}\right. \][/tex]
podemos seguir los siguientes pasos:
1. Expresar una variable en términos de otra (de la segunda ecuación):
De la segunda ecuación, tenemos:
[tex]\[ x - 5 = y \][/tex]
Entonces, podemos despejar [tex]\( y \)[/tex] en términos de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ y = x - 5 \][/tex]
2. Sustituir esta expresión en la primera ecuación:
Utilizamos la expresión obtenida para [tex]\( y \)[/tex] (es decir, [tex]\( y = x - 5 \)[/tex]) en la primera ecuación:
[tex]\[ x + 3 = 2y \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ x + 3 = 2(x - 5) \][/tex]
3. Resolver la ecuación resultante:
Simplificamos la ecuación anterior:
[tex]\[ x + 3 = 2x - 10 \][/tex]
Restamos [tex]\( x \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ 3 = x - 10 \][/tex]
Sumamos 10 a ambos lados:
[tex]\[ 13 = x \][/tex]
Entonces, tenemos:
[tex]\[ x = 13 \][/tex]
4. Encontrar el valor de [tex]\( y \)[/tex]:
Usamos el valor de [tex]\( x \)[/tex] encontrado (es decir, [tex]\( x = 13 \)[/tex]) en la expresión que obtuvimos para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = x - 5 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ y = 13 - 5 \][/tex]
[tex]\[ y = 8 \][/tex]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ x = 13 \][/tex]
[tex]\[ y = 8 \][/tex]
Conclusión:
El sistema de ecuaciones tiene una única solución que es:
[tex]\[ (x, y) = (13, 8) \][/tex]
Así que el sistema es compatible y tiene una única solución, la cual es [tex]\( x = 13 \)[/tex] y [tex]\( y = 8 \)[/tex].
