Para resolver este problema, debemos utilizar la relación entre la masa en reposo ([tex]\( m_0 \)[/tex]) y la masa relativista ([tex]\( m \)[/tex]) según la teoría de la relatividad especial de Einstein. La relación está dada por la siguiente fórmula:
[tex]\[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \][/tex]
Donde:
- [tex]\( m \)[/tex] es la masa de la partícula cuando se mueve a una velocidad [tex]\( v \)[/tex].
- [tex]\( m_0 \)[/tex] es la masa en reposo de la partícula.
- [tex]\( v \)[/tex] es la velocidad de la partícula.
- [tex]\( c \)[/tex] es la velocidad de la luz (aproximadamente [tex]\( 300,000 \, \text{km/s} \)[/tex]).
En el problema se nos da la relación entre las masas en reposo y en movimiento:
[tex]\[ \frac{m_0}{m} = \frac{1}{3} \][/tex]
Esto significa que [tex]\( m \)[/tex] es tres veces mayor que [tex]\( m_0 \)[/tex]:
[tex]\[ m = 3m_0 \][/tex]
Ahora, sustituimos [tex]\( m \)[/tex] en la fórmula relativista:
[tex]\[ 3m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \][/tex]
Dividiéndolo por [tex]\( m_0 \)[/tex] en ambos lados obtenemos:
[tex]\[ 3 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \][/tex]
Para despejar la raíz cuadrada, invertimos ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{3} \][/tex]
Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz:
[tex]\[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{9} \][/tex]
Luego, restamos [tex]\(\frac{1}{9}\)[/tex] de 1:
[tex]\[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{9} \][/tex]
[tex]\[ \frac{v^2}{c^2} = \frac{8}{9} \][/tex]
Multiplicando ambos lados por [tex]\( c^2 \)[/tex]:
[tex]\[ v^2 = \frac{8}{9} c^2 \][/tex]
Finalmente, tomamos la raíz cuadrada para despejar [tex]\( v \)[/tex]:
[tex]\[ v = c \sqrt{\frac{8}{9}} \][/tex]
Dado que [tex]\( c \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 300,000 \, \text{km/s} \)[/tex]:
[tex]\[ v \approx 300,000 \, \text{km/s} \times \sqrt{\frac{8}{9}} \][/tex]
Calculando esto, obtenemos:
[tex]\[ v \approx 300,000 \, \text{km/s} \times 0.9428 \approx 282,842 \, \text{km/s} \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( v \)[/tex] que cumple con la relación dada entre las masas es aproximadamente [tex]\( 282,842 \, \text{km/s} \)[/tex].
De las opciones proporcionadas, la que más se acerca a este valor es:
A) [tex]\( 282,000 \, \text{km/s} \)[/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
A) [tex]\( 282,000 \, \text{km/s} \)[/tex]
