Para resolver el problema, vamos a trabajar con las fórmulas dadas de la densidad ([tex]\(\rho\)[/tex]), la aceleración de la gravedad (g) y la altura (h). Vamos a seguir los pasos para la sustitución y simplificación.
1. Densidad ([tex]\(\rho\)[/tex]):
[tex]\[
\rho = \frac{2 a^3}{15 b^3}
\][/tex]
2. Aceleración de la gravedad (g):
[tex]\[
g = \frac{3 b^2}{c}
\][/tex]
3. Altura (h):
[tex]\[
h = \frac{5 a^3}{7 a c^2}
\][/tex]
Simplifiquemos la expresión para [tex]\(h\)[/tex]:
[tex]\[
h = \frac{5 a^3}{7 a c^2} = \frac{5 a^2}{7 c^2}
\][/tex]
4. Presión Hidrostática (P):
La presión hidrostática se calcula con la fórmula [tex]\(P = \rho g h\)[/tex].
Sustituimos las expresiones de [tex]\(\rho\)[/tex], [tex]\(g\)[/tex] y [tex]\(h\)[/tex] en la ecuación de la presión:
[tex]\[
P = \left(\frac{2 a^3}{15 b^3}\right) \left(\frac{3 b^2}{c}\right) \left(\frac{5 a^2}{7 c^2}\right)
\][/tex]
Ahora simplificamos esta expresión paso a paso:
- Primero, unimos todas las fracciones para obtener un solo coeficiente:
[tex]\[
P = \frac{2 a^3 \cdot 3 b^2 \cdot 5 a^2}{15 b^3 \cdot c \cdot 7 c^2}
\][/tex]
- Multiplicamos los numeradores y los denominadores:
[tex]\[
P = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot b^2}{15 \cdot 7 \cdot b^3 \cdot c \cdot c^2}
\][/tex]
- Simplifiquemos los coeficientes y las variables con las potencias:
[tex]\[
P = \frac{30 a^5 b^2}{105 b^3 c^3}
\][/tex]
Simplificando aún más:
[tex]\[
P = \frac{30}{105} \cdot \frac{a^5}{b} \cdot \frac{1}{c^3}
\][/tex]
Sabemos que [tex]\( \frac{30}{105} = \frac{2}{7} \)[/tex]:
[tex]\[
P = \frac{2}{7} \cdot \frac{a^5}{b} \cdot \frac{1}{c^3} = \frac{2 a^5}{7 b c^3}
\][/tex]
Finalmente, considerando valores específicos de las variables [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 1\)[/tex] y [tex]\(c = 1\)[/tex] que hemos mencionado anteriormente para el cálculo, el valor numérico de la presión resultante es:
[tex]\[
P = 0.28571428571428575
\][/tex]
Entonces, los valores calculados para [tex]\(\rho\)[/tex], [tex]\(g\)[/tex] y [tex]\(h\)[/tex] son:
[tex]\[
\rho = 0.13333333333333333, \quad g = 3.0, \quad h = 0.7142857142857143
\][/tex]
Por lo tanto, la presión [tex]\(P\)[/tex] es aproximadamente:
[tex]\[
P = 0.28571428571428575
\][/tex]
