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MATEMÁTICAS 3º

3. Para asignar el carril de una pista de atletismo, cada competidor debe sacar y devolver una de las 8 fichas etiquetadas del 1 al 8.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?
[tex]\[ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \][/tex]

Considerando que Elena es la primera competidora, asigna, para cada uno de los eventos que se le pueden presentar a ella, el subconjunto del espacio muestral y la probabilidad.

Evento A: "Obtener un número divisible por 6"
Subconjunto del espacio muestral:
[tex]\[ A = \{6\} \][/tex]
Probabilidad:
[tex]\[ P(A) = \frac{1}{8} \][/tex]

Evento B: "Obtener un número múltiplo de 4"
Subconjunto del espacio muestral:
[tex]\[ B = \{4, 8\} \][/tex]
Probabilidad:
[tex]\[ P(B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \][/tex]

¿Los eventos se presentan de forma simultánea?
Explica por qué:
[tex]\[\][/tex]

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A o B?
[tex]\[ P(A \cup B) \][/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
Para asignar el carril de una pista de atletismo mediante el sorteo de fichas del 1 al 8, consideremos los siguientes eventos.

a) Espacio muestral: El espacio muestral, es decir, el conjunto de todos los posibles resultados, es:

[tex]\[ S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \][/tex]

Evento A: "Obtener un número divisible entre 6"
- Un número del espacio muestral que es divisible entre 6 es el 6.
- Subconjunto del espacio muestral: [tex]\( A = \{6\} \)[/tex]
- Probabilidad de A: [tex]\( P(A) = \frac{\text{Número de elementos en A}}{\text{Número de elementos en el espacio muestral}} = \frac{1}{8} = 0.125 \)[/tex]

Evento B: "Obtener un número múltiplo de 4"
- Los números del espacio muestral que son múltiplos de 4 son el 4 y el 8.
- Subconjunto del espacio muestral: [tex]\( B = \{4, 8\} \)[/tex]
- Probabilidad de B: [tex]\( P(B) = \frac{\text{Número de elementos en B}}{\text{Número de elementos en el espacio muestral}} = \frac{2}{8} = 0.25 \)[/tex]

Simultaneidad de los eventos:
- Para que los eventos sean simultáneos, deben ocurrir al mismo tiempo, es decir, ambos eventos tendrían que compartir al menos un resultado común.
- En este caso, [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex] no tienen ningún resultado común ya que [tex]\( \{6\} \cap \{4, 8\} = \varnothing \)[/tex], es decir, el conjunto de la intersección es vacío.
- Por lo tanto, los eventos A y B no se presentan de forma simultánea.

Probabilidad de que ocurra el evento A o B:
- La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B (la unión de A y B) es la probabilidad de que ocurra cualquiera de los eventos.
- El subconjunto del espacio muestral representando la unión de los dos eventos es [tex]\( A \cup B = \{6, 4, 8\} \)[/tex].
- Probabilidad de [tex]\( A \cup B \)[/tex]: [tex]\( P(A \cup B) = \frac{\text{Número de elementos en } A \cup B}{\text{Número de elementos en el espacio muestral}} = \frac{3}{8} = 0.375 \)[/tex]

En resumen:
- Espacio muestral: [tex]\( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)[/tex]
- Evento A: [tex]\( \{6\} \)[/tex], Probabilidad: [tex]\( 0.125 \)[/tex]
- Evento B: [tex]\( \{4, 8\} \)[/tex], Probabilidad: [tex]\( 0.25 \)[/tex]
- Los eventos A y B no son simultáneos.
- Probabilidad de que ocurra el evento A o B: [tex]\( 0.375 \)[/tex]
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