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Sagot :
Para graficar la función [tex]\( y = 2x^2 + 3x + 4 \)[/tex], primero necesitamos calcular los valores de [tex]\( y \)[/tex] para una serie de valores de [tex]\( x \)[/tex]. Vamos a usar los valores de [tex]\( x \)[/tex] que van desde -5 hasta 5. Luego graficaremos estos puntos en un plano cartesiano.
### Paso 1: Calcular los valores de [tex]\( y \)[/tex]
Utilizaremos la fórmula dada:
[tex]\[ y = 2x^2 + 3x + 4 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -5 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-5)^2 + 3(-5) + 4 = 2(25) - 15 + 4 = 50 - 15 + 4 = 39 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -4 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-4)^2 + 3(-4) + 4 = 2(16) - 12 + 4 = 32 - 12 + 4 = 24 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -3 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-3)^2 + 3(-3) + 4 = 2(9) - 9 + 4 = 18 - 9 + 4 = 13 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-2)^2 + 3(-2) + 4 = 2(4) - 6 + 4 = 8 - 6 + 4 = 6 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-1)^2 + 3(-1) + 4 = 2(1) - 3 + 4 = 2 - 3 + 4 = 3 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(0)^2 + 3(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(1)^2 + 3(1) + 4 = 2(1) + 3 + 4 = 2 + 3 + 4 = 9 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(2)^2 + 3(2) + 4 = 2(4) + 6 + 4 = 8 + 6 + 4 = 18 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(3)^2 + 3(3) + 4 = 2(9) + 9 + 4 = 18 + 9 + 4 = 31 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(4)^2 + 3(4) + 4 = 2(16) + 12 + 4 = 32 + 12 + 4 = 48 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(5)^2 + 3(5) + 4 = 2(25) + 15 + 4 = 50 + 15 + 4 = 69 \][/tex]
### Paso 2: Organizar los resultados en una tabla
| [tex]\(x\)[/tex] | [tex]\(y\)[/tex] |
|-------|--------|
| -5 | 39 |
| -4 | 24 |
| -3 | 13 |
| -2 | 6 |
| -1 | 3 |
| 0 | 4 |
| 1 | 9 |
| 2 | 18 |
| 3 | 31 |
| 4 | 48 |
| 5 | 69 |
### Paso 3: Graficar los puntos en un plano cartesiano
Para representar la función gráficamente, trazamos los puntos [tex]\((x,y)\)[/tex] en un plano cartesiano y unimos los puntos resultantes para formar la parábola.
### Comentarios sobre la gráfica
- La función [tex]\( y = 2x^2 + 3x + 4 \)[/tex] es una parábola que abre hacia arriba, ya que el coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex] es positivo.
- Los valores de [tex]\( y \)[/tex] aumentan rápidamente a medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de 0, debido a la forma de la función cuadrática.
#### Dibujo de la gráfica (se hace a mano siguiendo los puntos tabulados):
### Interpretación
Viendo los puntos y conectándolos, tendríamos una parábola que abre hacia arriba. La gráfica pasa por todos los puntos calculados anteriormente.
Esta actividad nos ayuda a visualizar cómo los valores de [tex]\( y \)[/tex] cambian en función de [tex]\( x \)[/tex] para una ecuación cuadrática específica.
### Paso 1: Calcular los valores de [tex]\( y \)[/tex]
Utilizaremos la fórmula dada:
[tex]\[ y = 2x^2 + 3x + 4 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -5 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-5)^2 + 3(-5) + 4 = 2(25) - 15 + 4 = 50 - 15 + 4 = 39 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -4 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-4)^2 + 3(-4) + 4 = 2(16) - 12 + 4 = 32 - 12 + 4 = 24 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -3 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-3)^2 + 3(-3) + 4 = 2(9) - 9 + 4 = 18 - 9 + 4 = 13 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-2)^2 + 3(-2) + 4 = 2(4) - 6 + 4 = 8 - 6 + 4 = 6 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(-1)^2 + 3(-1) + 4 = 2(1) - 3 + 4 = 2 - 3 + 4 = 3 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(0)^2 + 3(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(1)^2 + 3(1) + 4 = 2(1) + 3 + 4 = 2 + 3 + 4 = 9 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(2)^2 + 3(2) + 4 = 2(4) + 6 + 4 = 8 + 6 + 4 = 18 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(3)^2 + 3(3) + 4 = 2(9) + 9 + 4 = 18 + 9 + 4 = 31 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(4)^2 + 3(4) + 4 = 2(16) + 12 + 4 = 32 + 12 + 4 = 48 \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(5)^2 + 3(5) + 4 = 2(25) + 15 + 4 = 50 + 15 + 4 = 69 \][/tex]
### Paso 2: Organizar los resultados en una tabla
| [tex]\(x\)[/tex] | [tex]\(y\)[/tex] |
|-------|--------|
| -5 | 39 |
| -4 | 24 |
| -3 | 13 |
| -2 | 6 |
| -1 | 3 |
| 0 | 4 |
| 1 | 9 |
| 2 | 18 |
| 3 | 31 |
| 4 | 48 |
| 5 | 69 |
### Paso 3: Graficar los puntos en un plano cartesiano
Para representar la función gráficamente, trazamos los puntos [tex]\((x,y)\)[/tex] en un plano cartesiano y unimos los puntos resultantes para formar la parábola.
### Comentarios sobre la gráfica
- La función [tex]\( y = 2x^2 + 3x + 4 \)[/tex] es una parábola que abre hacia arriba, ya que el coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex] es positivo.
- Los valores de [tex]\( y \)[/tex] aumentan rápidamente a medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de 0, debido a la forma de la función cuadrática.
#### Dibujo de la gráfica (se hace a mano siguiendo los puntos tabulados):
### Interpretación
Viendo los puntos y conectándolos, tendríamos una parábola que abre hacia arriba. La gráfica pasa por todos los puntos calculados anteriormente.
Esta actividad nos ayuda a visualizar cómo los valores de [tex]\( y \)[/tex] cambian en función de [tex]\( x \)[/tex] para una ecuación cuadrática específica.
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