At Westonci.ca, we connect you with the best answers from a community of experienced and knowledgeable individuals. Discover in-depth answers to your questions from a wide network of experts on our user-friendly Q&A platform. Experience the ease of finding precise answers to your questions from a knowledgeable community of experts.
Sagot :
To determine the value of [tex]\( S_4 \)[/tex] for the series [tex]\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}\)[/tex], we need to calculate the sum of the first 4 terms of the series.
The general term of the series can be written as:
[tex]\[ a_n = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \][/tex]
Now, let's calculate each of the first four terms individually:
1. For [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{1-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{0} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \approx 0.6666666666666666 \][/tex]
2. For [tex]\( n = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ a_2 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{2-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{3} \cdot -\frac{1}{5} = -\frac{2}{15} \approx -0.13333333333333333 \][/tex]
3. For [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ a_3 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{3-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{2} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{25}\right) = \frac{2}{3} \cdot 0.04 \approx 0.026666666666666672 \][/tex]
4. For [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ a_4 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{4-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{3} = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{125}\right) = \frac{2}{3} \cdot -0.008 \approx -0.005333333333333334 \][/tex]
Finally, we sum these four terms to find [tex]\( S_4 \)[/tex]:
[tex]\[ S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \][/tex]
[tex]\[ S_4 = 0.6666666666666666 + (-0.13333333333333333) + 0.026666666666666672 + (-0.005333333333333334) \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.6666666666666666 - 0.13333333333333333 + 0.026666666666666672 - 0.005333333333333334 \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.6666666666666666 - 0.13333333333333333 + 0.026666666666666672 - 0.005333333333333334 \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.5546666666666668 \][/tex]
So, the value of [tex]\( S_4 \)[/tex] is approximately [tex]\( 0.5546666666666668 \)[/tex].
The general term of the series can be written as:
[tex]\[ a_n = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \][/tex]
Now, let's calculate each of the first four terms individually:
1. For [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{1-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{0} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \approx 0.6666666666666666 \][/tex]
2. For [tex]\( n = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ a_2 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{2-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{3} \cdot -\frac{1}{5} = -\frac{2}{15} \approx -0.13333333333333333 \][/tex]
3. For [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ a_3 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{3-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{2} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{25}\right) = \frac{2}{3} \cdot 0.04 \approx 0.026666666666666672 \][/tex]
4. For [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ a_4 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{4-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{3} = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{125}\right) = \frac{2}{3} \cdot -0.008 \approx -0.005333333333333334 \][/tex]
Finally, we sum these four terms to find [tex]\( S_4 \)[/tex]:
[tex]\[ S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \][/tex]
[tex]\[ S_4 = 0.6666666666666666 + (-0.13333333333333333) + 0.026666666666666672 + (-0.005333333333333334) \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.6666666666666666 - 0.13333333333333333 + 0.026666666666666672 - 0.005333333333333334 \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.6666666666666666 - 0.13333333333333333 + 0.026666666666666672 - 0.005333333333333334 \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.5546666666666668 \][/tex]
So, the value of [tex]\( S_4 \)[/tex] is approximately [tex]\( 0.5546666666666668 \)[/tex].
Visit us again for up-to-date and reliable answers. We're always ready to assist you with your informational needs. Thank you for your visit. We're committed to providing you with the best information available. Return anytime for more. We're glad you chose Westonci.ca. Revisit us for updated answers from our knowledgeable team.
