To determine the value of [tex]\( S_4 \)[/tex] for the series [tex]\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}\)[/tex], we need to calculate the sum of the first 4 terms of the series.
The general term of the series can be written as:
[tex]\[ a_n = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \][/tex]
Now, let's calculate each of the first four terms individually:
1. For [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{1-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{0} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \approx 0.6666666666666666 \][/tex]
2. For [tex]\( n = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ a_2 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{2-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{3} \cdot -\frac{1}{5} = -\frac{2}{15} \approx -0.13333333333333333 \][/tex]
3. For [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ a_3 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{3-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{2} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{25}\right) = \frac{2}{3} \cdot 0.04 \approx 0.026666666666666672 \][/tex]
4. For [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ a_4 = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{4-1} = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{5}\right)^{3} = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{125}\right) = \frac{2}{3} \cdot -0.008 \approx -0.005333333333333334 \][/tex]
Finally, we sum these four terms to find [tex]\( S_4 \)[/tex]:
[tex]\[ S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \][/tex]
[tex]\[ S_4 = 0.6666666666666666 + (-0.13333333333333333) + 0.026666666666666672 + (-0.005333333333333334) \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.6666666666666666 - 0.13333333333333333 + 0.026666666666666672 - 0.005333333333333334 \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.6666666666666666 - 0.13333333333333333 + 0.026666666666666672 - 0.005333333333333334 \][/tex]
[tex]\[ S_4 \approx 0.5546666666666668 \][/tex]
So, the value of [tex]\( S_4 \)[/tex] is approximately [tex]\( 0.5546666666666668 \)[/tex].
