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Sagot :
¡Claro! Vamos a simplificar la expresión paso a paso.
La expresión dada es:
[tex]\[ N = \frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}} + \frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} \][/tex]
### Paso 1: Racionalización de los denominadores
Vamos a racionalizar cada terminando individualmente, esto significa que necesitamos eliminar las raíces del denominador mediante multiplicar por el conjugado del denominador.
#### Primer término: [tex]\(\frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}}\)[/tex]
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de [tex]\(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}\)[/tex], que es [tex]\(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}} \times \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}} = \frac{3\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}})(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}})} \][/tex]
Usamos la identidad [tex]\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)[/tex]:
[tex]\[ (\sqrt{7 - 2\sqrt{10}})(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}) = (7 - 2\sqrt{10})(7 + 2\sqrt{10}) = 7^2 - (2\sqrt{10})^2 = 49 - 4 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \frac{3\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{9} = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} \][/tex]
#### Segundo término: [tex]\(\frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}}\)[/tex]
Multiplicamos por el conjugado [tex]\(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}} \times \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}} = \frac{4\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{(\sqrt{8 + 4\sqrt{3}})(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}})} \][/tex]
Usamos la identidad:
[tex]\[ (\sqrt{8 + 4\sqrt{3}})(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}) = (8 + 4\sqrt{3})(8 - 4\sqrt{3}) = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - 16 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \frac{4\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{16} = \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} \][/tex]
#### Tercer término: [tex]\(\frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}}\)[/tex]
Multiplicamos por el conjugado [tex]\(\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} \times \frac{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}}{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}} = \frac{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}}{(\sqrt{11 - 2\sqrt{30}})(\sqrt{11 + 2\sqrt{30}})} \][/tex]
Usamos la identidad:
[tex]\[ (\sqrt{11 - 2\sqrt{30}})(\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}) = (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \frac{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}}{1} = \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
### Paso 2: Sustitución de los términos en la expresión original
Ahora tenemos la expresión racionalizada de cada término:
[tex]\[ N = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} + \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} - \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
### Paso 3: Simplificación final
Los términos ya están bastante simplificados. Al no haber expresiones inmediatas adicionales que simplifiquen la combinación de términos radicales y racionales de una manera obvia, la simplificación final de [tex]\(N\)[/tex] es la suma y resta de estos términos:
[tex]\[ N = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} + \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} - \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
Así que la expresión simplificada es:
[tex]\[ N = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} + \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} - \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
La expresión dada es:
[tex]\[ N = \frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}} + \frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} \][/tex]
### Paso 1: Racionalización de los denominadores
Vamos a racionalizar cada terminando individualmente, esto significa que necesitamos eliminar las raíces del denominador mediante multiplicar por el conjugado del denominador.
#### Primer término: [tex]\(\frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}}\)[/tex]
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de [tex]\(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}\)[/tex], que es [tex]\(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}} \times \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}} = \frac{3\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}})(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}})} \][/tex]
Usamos la identidad [tex]\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)[/tex]:
[tex]\[ (\sqrt{7 - 2\sqrt{10}})(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}) = (7 - 2\sqrt{10})(7 + 2\sqrt{10}) = 7^2 - (2\sqrt{10})^2 = 49 - 4 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \frac{3\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{9} = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} \][/tex]
#### Segundo término: [tex]\(\frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}}\)[/tex]
Multiplicamos por el conjugado [tex]\(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}} \times \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}} = \frac{4\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{(\sqrt{8 + 4\sqrt{3}})(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}})} \][/tex]
Usamos la identidad:
[tex]\[ (\sqrt{8 + 4\sqrt{3}})(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}) = (8 + 4\sqrt{3})(8 - 4\sqrt{3}) = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - 16 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \frac{4\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{16} = \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} \][/tex]
#### Tercer término: [tex]\(\frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}}\)[/tex]
Multiplicamos por el conjugado [tex]\(\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} \times \frac{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}}{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}} = \frac{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}}{(\sqrt{11 - 2\sqrt{30}})(\sqrt{11 + 2\sqrt{30}})} \][/tex]
Usamos la identidad:
[tex]\[ (\sqrt{11 - 2\sqrt{30}})(\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}) = (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \frac{\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}}{1} = \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
### Paso 2: Sustitución de los términos en la expresión original
Ahora tenemos la expresión racionalizada de cada término:
[tex]\[ N = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} + \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} - \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
### Paso 3: Simplificación final
Los términos ya están bastante simplificados. Al no haber expresiones inmediatas adicionales que simplifiquen la combinación de términos radicales y racionales de una manera obvia, la simplificación final de [tex]\(N\)[/tex] es la suma y resta de estos términos:
[tex]\[ N = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} + \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} - \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
Así que la expresión simplificada es:
[tex]\[ N = \frac{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{3} + \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} - \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \][/tex]
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