Para resolver la expresión [tex]\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h^2}\)[/tex] donde [tex]\(h \neq 0\)[/tex], primero definamos la función [tex]\(f(x)\)[/tex] como se indica en el ejercicio:
[tex]\[ f(x) = \frac{2}{5} x + \frac{5}{133} \][/tex]
Ahora, evaluamos la función en [tex]\(x + h\)[/tex]:
[tex]\[ f(x + h) = \frac{2}{5} (x + h) + \frac{5}{133} \][/tex]
Distribuimos el término [tex]\(\frac{2}{5}\)[/tex] dentro del paréntesis:
[tex]\[ f(x + h) = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} h + \frac{5}{133} \][/tex]
La siguiente tarea es encontrar la diferencia [tex]\(f(x + h) - f(x)\)[/tex]:
[tex]\[ f(x + h) - f(x) = \left(\frac{2}{5} x + \frac{2}{5} h + \frac{5}{133}\right) - \left(\frac{2}{5} x + \frac{5}{133}\right) \][/tex]
Podemos ver que los términos [tex]\(\frac{2}{5} x\)[/tex] y [tex]\(\frac{5}{133}\)[/tex] se cancelan:
[tex]\[ f(x + h) - f(x) = \frac{2}{5} h \][/tex]
Ahora, sustituimos esta diferencia en la expresión dada, y dividimos por [tex]\(h^2\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{f(x + h) - f(x)}{h^2} = \frac{\frac{2}{5} h}{h^2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{h}{h^2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{h} \][/tex]
Simplificamos la fracción:
[tex]\[ \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{h} = \frac{2}{5h} \][/tex]
Simplificando el resultado, obtenemos el valor numérico al evaluar [tex]\(x = 1\)[/tex] y [tex]\(h = 1\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{f(1+1) - f(1)}{1^2} = \frac{f(2) - f(1)}{1} \][/tex]
Dado que sustituimos [tex]\(x = 1\)[/tex] y [tex]\(h = 1\)[/tex], el término [tex]\(h\)[/tex] desaparece en la fracción, y obtenemos el resultado numérico:
[tex]\[ \frac{2}{5 \times 1} = 0.4000000000000001 \][/tex]
Por lo tanto, el valor de la expresión [tex]\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h^2} \)[/tex] cuando [tex]\( h \neq 0\)[/tex] es:
[tex]\[ 0.4000000000000001 \][/tex]
