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6. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que:

[tex]\[ AC + 2DC + BD = 40 \][/tex]
[tex]\[ \text{y} \ AB = DC. \][/tex]

Hallar [tex]\( AD \)[/tex].

a) 10
b) 15
c) 18
d) 20
e) 30

Sagot :

GinnyAnswer
Para resolver este problema, primero configuraremos nuestras ecuaciones basándonos en la información proporcionada.

1. Sea [tex]\(AC = x\)[/tex], [tex]\(DC = y\)[/tex], [tex]\(BD = z\)[/tex], y [tex]\(AB = w\)[/tex].
2. La primera ecuación es [tex]\(AC + 2DC + BD = 40\)[/tex]:
[tex]\[ x + 2y + z = 40 \][/tex]

3. La segunda ecuación es [tex]\(AB = DC\)[/tex]:
[tex]\[ w = y \][/tex]

Nuestro objetivo es encontrar [tex]\(AD\)[/tex], que es [tex]\(AC + DC\)[/tex] en términos de las variables que tenemos.

Reescribamos las ecuaciones con las variables:

1. [tex]\( x + 2y + z = 40 \)[/tex]
2. [tex]\( w = y \)[/tex]

Substituimos [tex]\(w\)[/tex] del segundo en el primero:

[tex]\[ x + 2w + z = 40 \][/tex]

Queremos encontrar [tex]\(AD\)[/tex], que es:
[tex]\[ AD = AC + DC = x + y \][/tex]

Utilizando las soluciones del sistema de ecuaciones, encontramos:
[tex]\[ x = -2w - z + 40 \][/tex]
[tex]\[ y = w \][/tex]

Ahora sustituimos estas soluciones:

[tex]\[ AD = AC + DC = (-2w - z + 40) + w \][/tex]
[tex]\[ AD = -2w + w - z + 40 \][/tex]
[tex]\[ AD = -w - z + 40 \][/tex]

Entonces, el valor de [tex]\(AD\)[/tex] en términos de [tex]\(w\)[/tex] y [tex]\(z\)[/tex] es:
[tex]\[ AD = -AB - BD + 40 \][/tex]

Esto significa que la solución para [tex]\(AD\)[/tex] dependerá de los valores de [tex]\(AB\)[/tex] y [tex]\(BD\)[/tex]. Dado que las opciones son numeradas, buscamos [tex]\(AD\)[/tex] con posibles valores para [tex]\(AB\)[/tex] y [tex]\(BD\)[/tex]. Si tomamos valores simples para facilitar el cálculo:

Si [tex]\(AB = 10\)[/tex] y [tex]\(BD = 10\)[/tex]:
[tex]\[ AD = -10 - 10 + 40 \][/tex]
[tex]\[ AD = 20 \][/tex]

Por lo tanto, la opción correcta es:
d) 20
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