Vamos resolver o problema utilizando propriedades dos logaritmos.
Primeiro, notamos que temos a expressão [tex]$\log_7 17 = a$[/tex]. Estamos procurando por [tex]$\log_7 2023$[/tex]. Vamos expressar 2023 em termos de 7 e 17 para aplicar a propriedade do logaritmo.
Primeiro, percebemos que 2023 pode ser aproximado como a multiplicação de uma potência de 7 por 17. Mais precisamente, podemos escrever:
[tex]\[ 2023 \approx 7^3 \cdot 17 \][/tex]
Então, para resolver [tex]$\log_7 2023$[/tex], podemos usar a propriedade de que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores:
[tex]\[ \log_7 (7^3 \cdot 17) = \log_7 (7^3) + \log_7 (17) \][/tex]
Agora separamos os termos utilizando a propriedade de logaritmos para potências e produtos:
[tex]\[ \log_7 (7^3) + \log_7 (17) \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ \log_7 (7^3) = 3 \cdot \log_7 (7) \][/tex]
E como a base e o argumento são iguais, temos:
[tex]\[ \log_7 (7) = 1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ \log_7 (7^3) = 3 \cdot 1 = 3 \][/tex]
E como fornecido no problema, temos:
[tex]\[ \log_7 (17) = a \][/tex]
Substituindo esses valores na nossa equação:
[tex]\[ \log_7 (2023) = 3 + a \][/tex]
Agora, precisamos verificar qual das opções corresponde a [tex]$3 + a$[/tex]. As opções são:
a. [tex]$2 a-1$[/tex]
b. [tex]$2+3 a$[/tex]
c. [tex]$3 a-1$[/tex]
d. [tex]$1+2 a$[/tex]
e. [tex]$2 a+3$[/tex]
A opção correta, que é equivalente a [tex]$3 + a$[/tex], é:
[tex]\[ e. \, 2a + 3 \][/tex]
Portanto, a resposta correta é a opção e.
