Para resolver el valor de [tex]\( M \)[/tex], que se define como
[tex]\[ M = \sqrt{\frac{(n+1) \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 7 + \ldots}{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2}}, \][/tex]
seguimos estos pasos:
### Paso 1: Entender el numerador
El numerador de la fracción se describe como una serie de productos de números impares consecutivos:
[tex]\[ (n+1) \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 7 + \ldots \][/tex]
### Paso 2: Entender el denominador
El denominador es la suma de los cuadrados de los primeros [tex]\( n \)[/tex] números naturales:
[tex]\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 \][/tex]
### Paso 3: Calcular el numerador y el denominador para [tex]\( n = 1 \)[/tex]
Para simplificar el cálculo, consideramos [tex]\( n = 1 \)[/tex] con el fin de obtener un valor numérico claro.
#### Numerador
Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], solo tenemos un término en la serie del numerador:
[tex]\[ (2 * 1 + 1) = 3 \][/tex]
#### Denominador
Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], solo tenemos el primer cuadrado en la serie del denominador:
[tex]\[ 1^2 = 1 \][/tex]
### Paso 4: Simplificar la fracción y calcular [tex]\( M \)[/tex]
Ahora sumamos y simplificamos:
[tex]\[ M = \sqrt{\frac{3}{1}} = \sqrt{3} \approx 1.7320508075688772 \][/tex]
### Paso 5: Comparar con las opciones
Revisamos las opciones dadas:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) [tex]\( \sqrt{3} \)[/tex]
Finalmente, el valor de [tex]\( M \)[/tex] coincide aproximadamente con el valor:
[tex]\[ \sqrt{3} \approx 1.7320508075688772 \][/tex]
### Respuesta correcta:
E) [tex]\( \sqrt{3} \)[/tex]
