Para determinar la longitud del intervalo [tex]\[A = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid \frac{x + 2}{2x - 1} \in [1, 3) \right\},\][/tex] vamos a resolver la desigualdad [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1} \in [1, 3)\)[/tex].
1. Primero, resolvemos la ecuación [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1} = 1\)[/tex] para encontrar uno de los puntos críticos del intervalo.
[tex]\[
\frac{x + 2}{2x - 1} = 1
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por [tex]\(2x - 1\)[/tex]:
[tex]\[
x + 2 = 2x - 1
\][/tex]
Restamos [tex]\(x\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
2 = x - 1
\][/tex]
Sumamos 1 a ambos lados:
[tex]\[
x = 3
\][/tex]
2. Ahora, resolvemos la ecuación [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1} = 3\)[/tex] para encontrar el otro punto crítico del intervalo.
[tex]\[
\frac{x + 2}{2x - 1} = 3
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por [tex]\(2x - 1\)[/tex]:
[tex]\[
x + 2 = 3(2x - 1)
\][/tex]
Expandimos el lado derecho:
[tex]\[
x + 2 = 6x - 3
\][/tex]
Restamos [tex]\(x\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
2 = 5x - 3
\][/tex]
Sumamos 3 a ambos lados:
[tex]\[
5 = 5x
\][/tex]
Dividimos por 5:
[tex]\[
x = 1
\][/tex]
3. Los puntos críticos del intervalo son [tex]\(x = 1\)[/tex] y [tex]\(x = 3\)[/tex].
4. Ordenamos estos puntos para obtener el intervalo en el que [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1}\)[/tex] está en [tex]\([1, 3)\)[/tex]:
[tex]\[
x \in [1, 3)
\][/tex]
5. La longitud del intervalo [tex]\( [1, 3) \)[/tex] se encuentra restando el límite inferior al límite superior:
[tex]\[
\text{longitud} = 3 - 1 = 2
\][/tex]
Por lo tanto, la longitud del intervalo [tex]\(A\)[/tex] es [tex]\(2\)[/tex].
La respuesta correcta es:
D) 1
