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Sagot :
Primero, necesitamos resolver la inecuación [tex]\(\frac{x+2}{2x-1} \in [1, 3)\)[/tex].
Esto nos da dos inecuaciones que debemos resolver por separado:
1. [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1} \geq 1\)[/tex]
2. [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1} < 3\)[/tex]
### Resolver la primera inecuación:
[tex]\[ \frac{x + 2}{2x - 1} \geq 1 \][/tex]
Multiplicamos ambos lados por [tex]\(2x - 1\)[/tex], considerando que este valor puede ser positivo o negativo. Esto da lugar a dos casos:
#### Caso 1: [tex]\(2x - 1 > 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex])
[tex]\[ \begin{aligned} & (x + 2) \geq (2x - 1) \\ & x + 2 \geq 2x - 1 \\ & 2 + 1 \geq 2x - x \\ & 3 \geq x \\ & x \leq 3 \end{aligned} \][/tex]
Este caso es válido cuando [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(x \leq 3\)[/tex], es decir: [tex]\(\frac{1}{2} < x \leq 3\)[/tex].
#### Caso 2: [tex]\(2x - 1 < 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex])
Multiplicamos por [tex]\(-(2x - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ \begin{aligned} & (x + 2) \leq (2x - 1) \\ & x + 2 \leq 2x - 1 \\ & 2 + 1 \leq 2x - x \\ & 3 \leq x \end{aligned} \][/tex]
Este caso no es posible ya que [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(3 \leq x\)[/tex] son incompatibles.
Por lo tanto, la solución de la primera inecuación es:
[tex]\[ \frac{1}{2} < x \leq 3 \][/tex]
### Resolver la segunda inecuación:
[tex]\[ \frac{x + 2}{2x - 1} < 3 \][/tex]
Nuevamente, multiplicamos ambos lados por [tex]\(2x - 1\)[/tex], considerando los mismos dos casos:
#### Caso 1: [tex]\(2x - 1 > 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex])
[tex]\[ \begin{aligned} & x + 2 < 3(2x - 1) \\ & x + 2 < 6x - 3 \\ & 2 + 3 < 6x - x \\ & 5 < 5x \\ & 1 < x \end{aligned} \][/tex]
Este caso es válido cuando [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex], es decir, [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex].
#### Caso 2: [tex]\(2x - 1 < 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex])
Multiplicamos por [tex]\(-(2x - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ \begin{aligned} & x + 2 > 3(2x - 1) \\ & x + 2 > 6x - 3 \\ & 2 + 3 > 6x - x \\ & 5 > 5x \\ & 1 > x \end{aligned} \][/tex]
Este caso no es válido ya que no depende de [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex].
Por lo tanto, la solución de la segunda inecuación es:
[tex]\[ x > \frac{1}{2} \][/tex]
### Intersección de las soluciones:
Las soluciones son:
1. [tex]\(\frac{1}{2} < x \leq 3\)[/tex]
2. [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex]
La intersección de ambas es:
[tex]\[ \frac{1}{2} < x \leq 3 \][/tex]
### Longitud del intervalo
La longitud del intervalo [tex]\(\left(\frac{1}{2}, 3\right]\)[/tex] es:
[tex]\[ 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la longitud del intervalo es [tex]\(\frac{5}{2}\)[/tex].
La respuesta correcta es:
B) [tex]\(\frac{5}{2}\)[/tex]
Esto nos da dos inecuaciones que debemos resolver por separado:
1. [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1} \geq 1\)[/tex]
2. [tex]\(\frac{x + 2}{2x - 1} < 3\)[/tex]
### Resolver la primera inecuación:
[tex]\[ \frac{x + 2}{2x - 1} \geq 1 \][/tex]
Multiplicamos ambos lados por [tex]\(2x - 1\)[/tex], considerando que este valor puede ser positivo o negativo. Esto da lugar a dos casos:
#### Caso 1: [tex]\(2x - 1 > 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex])
[tex]\[ \begin{aligned} & (x + 2) \geq (2x - 1) \\ & x + 2 \geq 2x - 1 \\ & 2 + 1 \geq 2x - x \\ & 3 \geq x \\ & x \leq 3 \end{aligned} \][/tex]
Este caso es válido cuando [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(x \leq 3\)[/tex], es decir: [tex]\(\frac{1}{2} < x \leq 3\)[/tex].
#### Caso 2: [tex]\(2x - 1 < 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex])
Multiplicamos por [tex]\(-(2x - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ \begin{aligned} & (x + 2) \leq (2x - 1) \\ & x + 2 \leq 2x - 1 \\ & 2 + 1 \leq 2x - x \\ & 3 \leq x \end{aligned} \][/tex]
Este caso no es posible ya que [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(3 \leq x\)[/tex] son incompatibles.
Por lo tanto, la solución de la primera inecuación es:
[tex]\[ \frac{1}{2} < x \leq 3 \][/tex]
### Resolver la segunda inecuación:
[tex]\[ \frac{x + 2}{2x - 1} < 3 \][/tex]
Nuevamente, multiplicamos ambos lados por [tex]\(2x - 1\)[/tex], considerando los mismos dos casos:
#### Caso 1: [tex]\(2x - 1 > 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex])
[tex]\[ \begin{aligned} & x + 2 < 3(2x - 1) \\ & x + 2 < 6x - 3 \\ & 2 + 3 < 6x - x \\ & 5 < 5x \\ & 1 < x \end{aligned} \][/tex]
Este caso es válido cuando [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex], es decir, [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex].
#### Caso 2: [tex]\(2x - 1 < 0\)[/tex] (es decir, [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex])
Multiplicamos por [tex]\(-(2x - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ \begin{aligned} & x + 2 > 3(2x - 1) \\ & x + 2 > 6x - 3 \\ & 2 + 3 > 6x - x \\ & 5 > 5x \\ & 1 > x \end{aligned} \][/tex]
Este caso no es válido ya que no depende de [tex]\(x < \frac{1}{2}\)[/tex].
Por lo tanto, la solución de la segunda inecuación es:
[tex]\[ x > \frac{1}{2} \][/tex]
### Intersección de las soluciones:
Las soluciones son:
1. [tex]\(\frac{1}{2} < x \leq 3\)[/tex]
2. [tex]\(x > \frac{1}{2}\)[/tex]
La intersección de ambas es:
[tex]\[ \frac{1}{2} < x \leq 3 \][/tex]
### Longitud del intervalo
La longitud del intervalo [tex]\(\left(\frac{1}{2}, 3\right]\)[/tex] es:
[tex]\[ 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la longitud del intervalo es [tex]\(\frac{5}{2}\)[/tex].
La respuesta correcta es:
B) [tex]\(\frac{5}{2}\)[/tex]
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