Para expandir la expresión [tex]\( \log \left[x^2 /(x-1)^3\right] \)[/tex] usando las propiedades de los logaritmos, seguimos los siguientes pasos detallados:
1. Propiedad del logaritmo de un cociente:
[tex]\[
\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log(a) - \log(b)
\][/tex]
Aplicando esta propiedad a nuestra expresión, tenemos:
[tex]\[
\log \left( \frac{x^2}{(x-1)^3} \right) = \log \left( x^2 \right) - \log \left( (x-1)^3 \right)
\][/tex]
2. Propiedad del logaritmo de una potencia:
[tex]\[
\log(a^n) = n \cdot \log(a)
\][/tex]
Aplicando esta propiedad a cada término de la expresión obtenida:
[tex]\[
\log \left( x^2 \right) = 2 \cdot \log(x)
\][/tex]
y
[tex]\[
\log \left( (x-1)^3 \right) = 3 \cdot \log(x-1)
\][/tex]
3. Sustitución de las expresiones: Sustituimos las expresiones que obtuvimos en el paso anterior:
[tex]\[
\log \left( x^2 \right) - \log \left( (x-1)^3 \right) = 2 \cdot \log(x) - 3 \cdot \log(x-1)
\][/tex]
Entonces, la expresión original [tex]\( \log \left[ \frac{x^2}{(x-1)^3} \right] \)[/tex] en forma expandida es:
[tex]\[
2 \cdot \log(x) - 3 \cdot \log(x-1)
\][/tex]
Este resultado es la forma expandida de la expresión utilizando las propiedades de los logaritmos.
