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Sagot :
Para resolver el sistema de ecuaciones por el método de reducción (también conocido como el método de eliminación), seguiremos los siguientes pasos:
1. Escribir las ecuaciones originales:
[tex]\[ \begin{aligned} -2x + y &= 7 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ 3x - 5y &= 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{aligned} \][/tex]
2. Igualar los coeficientes de una de las incógnitas (en este caso, [tex]$y$[/tex]):
Para ello, multiplicamos la Ecuación 1 por 5 y la Ecuación 2 por 1 para que al sumar las ecuaciones, eliminemos la variable [tex]$y$[/tex]. Los coeficientes de [tex]$y$[/tex] en las ecuaciones serán entonces iguales y de signos opuestos.
[tex]\[ \begin{aligned} 5(-2x + y) &= 5 \cdot 7 \\ 5(-2x) + 5(y) &= 35 \\ -10x + 5y &= 35 \quad \text{(Ecuación 3)} \end{aligned} \][/tex]
[tex]\[ \begin{aligned} 1(3x - 5y) &= 1 \cdot 1 \\ 3x - 5y &= 1 \quad \text{(Ecuación 4)} \end{aligned} \][/tex]
3. Sumar las ecuaciones (Ecuación 3 y Ecuación 4):
[tex]\[ \begin{aligned} (-10x + 5y) + (3x - 5y) &= 35 + 1 \\ -10x + 3x + 5y - 5y &= 36 \\ -7x &= 36 \\ x &= \frac{36}{-7} \text{ o } x = -\frac{36}{7} \end{aligned} \][/tex]
Así, hemos encontrado el valor de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = -\frac{36}{7} \][/tex]
4. Sustituir [tex]$x = -\frac{36}{7}$[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de [tex]$y$[/tex]:
Usamos la Ecuación 1:
[tex]\[ \begin{aligned} -2\left(-\frac{36}{7}\right) + y &= 7 \\ \frac{72}{7} + y &= 7 \\ y &= 7 - \frac{72}{7} \\ y &= \frac{49}{7} - \frac{72}{7} \\ y &= -\frac{23}{7} \end{aligned} \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[ y = -\frac{23}{7} \][/tex]
5. Conclusión:
Los valores que satisfacen el sistema de ecuaciones son:
[tex]\[ x = -\frac{36}{7} \quad \text{y} \quad y = -\frac{23}{7} \][/tex]
1. Escribir las ecuaciones originales:
[tex]\[ \begin{aligned} -2x + y &= 7 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ 3x - 5y &= 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{aligned} \][/tex]
2. Igualar los coeficientes de una de las incógnitas (en este caso, [tex]$y$[/tex]):
Para ello, multiplicamos la Ecuación 1 por 5 y la Ecuación 2 por 1 para que al sumar las ecuaciones, eliminemos la variable [tex]$y$[/tex]. Los coeficientes de [tex]$y$[/tex] en las ecuaciones serán entonces iguales y de signos opuestos.
[tex]\[ \begin{aligned} 5(-2x + y) &= 5 \cdot 7 \\ 5(-2x) + 5(y) &= 35 \\ -10x + 5y &= 35 \quad \text{(Ecuación 3)} \end{aligned} \][/tex]
[tex]\[ \begin{aligned} 1(3x - 5y) &= 1 \cdot 1 \\ 3x - 5y &= 1 \quad \text{(Ecuación 4)} \end{aligned} \][/tex]
3. Sumar las ecuaciones (Ecuación 3 y Ecuación 4):
[tex]\[ \begin{aligned} (-10x + 5y) + (3x - 5y) &= 35 + 1 \\ -10x + 3x + 5y - 5y &= 36 \\ -7x &= 36 \\ x &= \frac{36}{-7} \text{ o } x = -\frac{36}{7} \end{aligned} \][/tex]
Así, hemos encontrado el valor de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = -\frac{36}{7} \][/tex]
4. Sustituir [tex]$x = -\frac{36}{7}$[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de [tex]$y$[/tex]:
Usamos la Ecuación 1:
[tex]\[ \begin{aligned} -2\left(-\frac{36}{7}\right) + y &= 7 \\ \frac{72}{7} + y &= 7 \\ y &= 7 - \frac{72}{7} \\ y &= \frac{49}{7} - \frac{72}{7} \\ y &= -\frac{23}{7} \end{aligned} \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[ y = -\frac{23}{7} \][/tex]
5. Conclusión:
Los valores que satisfacen el sistema de ecuaciones son:
[tex]\[ x = -\frac{36}{7} \quad \text{y} \quad y = -\frac{23}{7} \][/tex]
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