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Sagot :
Vamos a resolver dos problemas distintos de geometría analítica.
### 1. Para el problema de hallar [tex]\( a + b \)[/tex] con el punto [tex]\( C(a, b-a) \)[/tex]
Dado que el punto [tex]\( C \)[/tex] está escrito en la forma [tex]\( (a, b-a) \)[/tex] y no tenemos información adicional que relacione [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex], no podemos resolver este problema solo con esos datos. Sin más datos contextuales o relaciones dadas, no podemos hallar el valor de [tex]\( a + b \)[/tex] directamente. Necesitamos más información o contexto.
Vamos al siguiente problema.
### 2. Calcular [tex]\( x + y \)[/tex] para un recorrido mínimo desde [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] a [tex]\( B(9, 8) \)[/tex] tocando los ejes.
Buscamos el recorrido mínimo desde el punto [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] al punto [tex]\( B(9, 8) \)[/tex] tocando los ejes de coordenadas en el proceso.
- Primero, encontraremos la ruta que toque el eje Y en algún punto [tex]\( P(0, y) \)[/tex].
- Luego, consideraremos la ruta que debe tocar el eje X en algún punto [tex]\( Q(x, 0) \)[/tex].
#### Ruta tocando el eje Y en P (0, y)
Reflectamos el punto [tex]\( A \)[/tex] respecto al eje Y:
- El reflejo de [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] a través del eje Y es el punto [tex]\( P(0, 3) \)[/tex] ya que el "y" se mantiene y el "x" va a ser 0.
Calculamos la distancia desde [tex]\( P(0, 3) \)[/tex] a [tex]\( B(9, 8) \)[/tex]:
[tex]\[ BP = \sqrt{(9 - 0)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106} \][/tex]
#### Ruta tocando el eje X en Q (x, 0)
Reflectamos el punto [tex]\( A \)[/tex] respecto al eje X:
- El reflejo de [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] a través del eje X es el punto [tex]\( Q(2, -3) \)[/tex].
Calculamos la distancia desde [tex]\( Q(2, -3) \)[/tex] a [tex]\( B(9, 8) \)[/tex]:
[tex]\[ BQ = \sqrt{(9 - 2)^2 + (8 - (-3))^2} = \sqrt{7^2 + 11^2} = \sqrt{49 + 121} = \sqrt{170} \][/tex]
#### Determinamos el recorrido mínimo y la suma de [tex]\( x + y \)[/tex]
Vemos que la distancia más corta es:
[tex]\[ \min(\sqrt{106}, \sqrt{170}) = \sqrt{106} \][/tex]
Entonces la ruta mínima ocurre cuando tocamos el eje Y en [tex]\( P \)[/tex].
El punto en el que tocamos el eje Y es [tex]\( P(0, 3) \)[/tex] y tocamos el eje X en [tex]\( Q(2, 0) \)[/tex].
Para el recorrido mínimo, la suma de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] es observable desde el punto [tex]\( Q \)[/tex]:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
[tex]\[ y = -3 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ x + y = 2 + (-3) = -1 \][/tex]
### Resumido
- The minimum route from point [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] to [tex]\( B(9, 8) \)[/tex] touching the axes is with coordinates [tex]\( x + y = -1 \)[/tex].
La respuesta correcta para la suma menor [tex]\( x + y \)[/tex] es [tex]\( -1 \)[/tex].
### 1. Para el problema de hallar [tex]\( a + b \)[/tex] con el punto [tex]\( C(a, b-a) \)[/tex]
Dado que el punto [tex]\( C \)[/tex] está escrito en la forma [tex]\( (a, b-a) \)[/tex] y no tenemos información adicional que relacione [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex], no podemos resolver este problema solo con esos datos. Sin más datos contextuales o relaciones dadas, no podemos hallar el valor de [tex]\( a + b \)[/tex] directamente. Necesitamos más información o contexto.
Vamos al siguiente problema.
### 2. Calcular [tex]\( x + y \)[/tex] para un recorrido mínimo desde [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] a [tex]\( B(9, 8) \)[/tex] tocando los ejes.
Buscamos el recorrido mínimo desde el punto [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] al punto [tex]\( B(9, 8) \)[/tex] tocando los ejes de coordenadas en el proceso.
- Primero, encontraremos la ruta que toque el eje Y en algún punto [tex]\( P(0, y) \)[/tex].
- Luego, consideraremos la ruta que debe tocar el eje X en algún punto [tex]\( Q(x, 0) \)[/tex].
#### Ruta tocando el eje Y en P (0, y)
Reflectamos el punto [tex]\( A \)[/tex] respecto al eje Y:
- El reflejo de [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] a través del eje Y es el punto [tex]\( P(0, 3) \)[/tex] ya que el "y" se mantiene y el "x" va a ser 0.
Calculamos la distancia desde [tex]\( P(0, 3) \)[/tex] a [tex]\( B(9, 8) \)[/tex]:
[tex]\[ BP = \sqrt{(9 - 0)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106} \][/tex]
#### Ruta tocando el eje X en Q (x, 0)
Reflectamos el punto [tex]\( A \)[/tex] respecto al eje X:
- El reflejo de [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] a través del eje X es el punto [tex]\( Q(2, -3) \)[/tex].
Calculamos la distancia desde [tex]\( Q(2, -3) \)[/tex] a [tex]\( B(9, 8) \)[/tex]:
[tex]\[ BQ = \sqrt{(9 - 2)^2 + (8 - (-3))^2} = \sqrt{7^2 + 11^2} = \sqrt{49 + 121} = \sqrt{170} \][/tex]
#### Determinamos el recorrido mínimo y la suma de [tex]\( x + y \)[/tex]
Vemos que la distancia más corta es:
[tex]\[ \min(\sqrt{106}, \sqrt{170}) = \sqrt{106} \][/tex]
Entonces la ruta mínima ocurre cuando tocamos el eje Y en [tex]\( P \)[/tex].
El punto en el que tocamos el eje Y es [tex]\( P(0, 3) \)[/tex] y tocamos el eje X en [tex]\( Q(2, 0) \)[/tex].
Para el recorrido mínimo, la suma de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] es observable desde el punto [tex]\( Q \)[/tex]:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
[tex]\[ y = -3 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ x + y = 2 + (-3) = -1 \][/tex]
### Resumido
- The minimum route from point [tex]\( A(2, 3) \)[/tex] to [tex]\( B(9, 8) \)[/tex] touching the axes is with coordinates [tex]\( x + y = -1 \)[/tex].
La respuesta correcta para la suma menor [tex]\( x + y \)[/tex] es [tex]\( -1 \)[/tex].
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