Vamos calcular as raízes e o vértice da função quadrática [tex]\( y = x^2 - 5x - 6 \)[/tex].
### Passo 1: Identificação dos coeficientes
A função quadrática está na forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex], onde:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = -5 \)[/tex]
- [tex]\( c = -6 \)[/tex]
### Passo 2: Cálculo do discriminante
O discriminante [tex]\( \Delta \)[/tex] de uma equação quadrática [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] é dado por:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Substituindo os valores dos coeficientes:
[tex]\[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 25 + 24 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 49 \][/tex]
### Passo 3: Cálculo das raízes
As raízes da equação quadrática são encontradas usando a fórmula quadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \][/tex]
Substituindo os valores:
[tex]\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{5 + 7}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{12}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = 6 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{5 - 7}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-2}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = -1 \][/tex]
Portanto, as raízes da função são [tex]\( x_1 = 6 \)[/tex] e [tex]\( x_2 = -1 \)[/tex].
### Passo 4: Cálculo do vértice
O vértice de uma parábola [tex]\( y = ax^2 + bx + c \)[/tex] pode ser encontrado utilizando a fórmula para a coordenada [tex]\( x \)[/tex] do vértice:
[tex]\[ x_v = \frac{-b}{2a} \][/tex]
Substituindo os valores:
[tex]\[ x_v = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x_v = \frac{5}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_v = 2.5 \][/tex]
Para encontrar a coordenada [tex]\( y \)[/tex] do vértice, substituímos [tex]\( x_v \)[/tex] na equação original:
[tex]\[ y_v = a x_v^2 + b x_v + c \][/tex]
[tex]\[ y_v = 1 \cdot (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 - 6 \][/tex]
[tex]\[ y_v = 1 \cdot 6.25 - 12.5 - 6 \][/tex]
[tex]\[ y_v = 6.25 - 12.5 - 6 \][/tex]
[tex]\[ y_v = -12.25 \][/tex]
Portanto, o vértice da parábola é [tex]\( (2.5, -12.25) \)[/tex].
### Conclusão
As raízes da função [tex]\( y = x^2 - 5x - 6 \)[/tex] são [tex]\( x_1 = 6 \)[/tex] e [tex]\( x_2 = -1 \)[/tex]. O vértice da parábola é [tex]\( (2.5, -12.25) \)[/tex].
