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Sagot :
Claro, vamos a resolver estas desigualdades paso a paso y verificar el resultado con algunos valores.
### Parte a: Resolver la desigualdad [tex]\( 2x + 1 \leq 4x - 3 \)[/tex]
1. Primero, restamos [tex]\(2x\)[/tex] de ambos lados de la desigualdad para tratar de aislar [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 2x + 1 - 2x \leq 4x - 3 - 2x \][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[ 1 \leq 2x - 3 \][/tex]
2. Luego, sumamos 3 a ambos lados para continuar aislando [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 1 + 3 \leq 2x - 3 + 3 \][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[ 4 \leq 2x \][/tex]
3. Finalmente, dividimos ambos lados entre 2 para resolver [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4}{2} \leq \frac{2x}{2} \][/tex]
Simplificando, tenemos:
[tex]\[ 2 \leq x \][/tex]
Esto se puede escribir como:
[tex]\[ x \geq 2 \][/tex]
### Parte b: Resolver la desigualdad [tex]\( 4x - 3 \leq 5 \)[/tex]
1. Sumamos 3 a ambos lados para tratar de aislar [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 4x - 3 + 3 \leq 5 + 3 \][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[ 4x \leq 8 \][/tex]
2. Luego, dividimos ambos lados entre 4 para resolver [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4x}{4} \leq \frac{8}{4} \][/tex]
Simplificando, tenemos:
[tex]\[ x \leq 2 \][/tex]
### Encontrar el intervalo de solución
Las soluciones de ambas desigualdades deben cumplirse simultáneamente. Entonces, combinamos los resultados de las dos partes:
- De la primera parte: [tex]\( x \geq 2 \)[/tex]
- De la segunda parte: [tex]\( x \leq 2 \)[/tex]
Por lo tanto, la solución es:
[tex]\[ 2 \leq x \leq 2 \][/tex]
Esto significa que [tex]\( x \)[/tex] tiene un único valor:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
### Comprobación con dos valores diferentes
Ahora vamos a verificar esta solución con [tex]\( x = 2 \)[/tex] y otro valor fuera del intervalo, por ejemplo [tex]\( x = 3 \)[/tex].
#### Verificación con [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
1. Para la desigualdad [tex]\( 2x + 1 \leq 4x - 3 \)[/tex]:
[tex]\[ 2(2) + 1 \leq 4(2) - 3 \][/tex]
[tex]\[ 4 + 1 \leq 8 - 3 \][/tex]
[tex]\[ 5 \leq 5 \][/tex]
Esto es verdadero.
2. Para la desigualdad [tex]\( 4x - 3 \leq 5 \)[/tex]:
[tex]\[ 4(2) - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 8 - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 5 \leq 5 \][/tex]
Esto es verdadero.
Entonces, para [tex]\( x = 2 \)[/tex], ambas desigualdades se cumplen.
#### Verificación con [tex]\( x = 3 \)[/tex] (fuera del intervalo):
1. Para la desigualdad [tex]\( 2x + 1 \leq 4x - 3 \)[/tex]:
[tex]\[ 2(3) + 1 \leq 4(3) - 3 \][/tex]
[tex]\[ 6 + 1 \leq 12 - 3 \][/tex]
[tex]\[ 7 \leq 9 \][/tex]
Esto es verdadero.
2. Para la desigualdad [tex]\( 4x - 3 \leq 5 \)[/tex]:
[tex]\[ 4(3) - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 12 - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 9 \leq 5 \][/tex]
Esto es falso.
Entonces, para [tex]\( x = 3 \)[/tex], una de las desigualdades no se cumple.
### Conclusión
La solución para las desigualdades dadas es [tex]\( x = 2 \)[/tex]. Los valores de comprobación muestran que para [tex]\( x = 2 \)[/tex], ambas desigualdades son verdaderas, mientras que para un valor fuera del intervalo, no se cumplen ambas desigualdades.
### Parte a: Resolver la desigualdad [tex]\( 2x + 1 \leq 4x - 3 \)[/tex]
1. Primero, restamos [tex]\(2x\)[/tex] de ambos lados de la desigualdad para tratar de aislar [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 2x + 1 - 2x \leq 4x - 3 - 2x \][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[ 1 \leq 2x - 3 \][/tex]
2. Luego, sumamos 3 a ambos lados para continuar aislando [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 1 + 3 \leq 2x - 3 + 3 \][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[ 4 \leq 2x \][/tex]
3. Finalmente, dividimos ambos lados entre 2 para resolver [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4}{2} \leq \frac{2x}{2} \][/tex]
Simplificando, tenemos:
[tex]\[ 2 \leq x \][/tex]
Esto se puede escribir como:
[tex]\[ x \geq 2 \][/tex]
### Parte b: Resolver la desigualdad [tex]\( 4x - 3 \leq 5 \)[/tex]
1. Sumamos 3 a ambos lados para tratar de aislar [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 4x - 3 + 3 \leq 5 + 3 \][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[ 4x \leq 8 \][/tex]
2. Luego, dividimos ambos lados entre 4 para resolver [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4x}{4} \leq \frac{8}{4} \][/tex]
Simplificando, tenemos:
[tex]\[ x \leq 2 \][/tex]
### Encontrar el intervalo de solución
Las soluciones de ambas desigualdades deben cumplirse simultáneamente. Entonces, combinamos los resultados de las dos partes:
- De la primera parte: [tex]\( x \geq 2 \)[/tex]
- De la segunda parte: [tex]\( x \leq 2 \)[/tex]
Por lo tanto, la solución es:
[tex]\[ 2 \leq x \leq 2 \][/tex]
Esto significa que [tex]\( x \)[/tex] tiene un único valor:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
### Comprobación con dos valores diferentes
Ahora vamos a verificar esta solución con [tex]\( x = 2 \)[/tex] y otro valor fuera del intervalo, por ejemplo [tex]\( x = 3 \)[/tex].
#### Verificación con [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
1. Para la desigualdad [tex]\( 2x + 1 \leq 4x - 3 \)[/tex]:
[tex]\[ 2(2) + 1 \leq 4(2) - 3 \][/tex]
[tex]\[ 4 + 1 \leq 8 - 3 \][/tex]
[tex]\[ 5 \leq 5 \][/tex]
Esto es verdadero.
2. Para la desigualdad [tex]\( 4x - 3 \leq 5 \)[/tex]:
[tex]\[ 4(2) - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 8 - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 5 \leq 5 \][/tex]
Esto es verdadero.
Entonces, para [tex]\( x = 2 \)[/tex], ambas desigualdades se cumplen.
#### Verificación con [tex]\( x = 3 \)[/tex] (fuera del intervalo):
1. Para la desigualdad [tex]\( 2x + 1 \leq 4x - 3 \)[/tex]:
[tex]\[ 2(3) + 1 \leq 4(3) - 3 \][/tex]
[tex]\[ 6 + 1 \leq 12 - 3 \][/tex]
[tex]\[ 7 \leq 9 \][/tex]
Esto es verdadero.
2. Para la desigualdad [tex]\( 4x - 3 \leq 5 \)[/tex]:
[tex]\[ 4(3) - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 12 - 3 \leq 5 \][/tex]
[tex]\[ 9 \leq 5 \][/tex]
Esto es falso.
Entonces, para [tex]\( x = 3 \)[/tex], una de las desigualdades no se cumple.
### Conclusión
La solución para las desigualdades dadas es [tex]\( x = 2 \)[/tex]. Los valores de comprobación muestran que para [tex]\( x = 2 \)[/tex], ambas desigualdades son verdaderas, mientras que para un valor fuera del intervalo, no se cumplen ambas desigualdades.
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