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Sagot :
Para resolver este problema, vamos a desglosar cada componente paso a paso. Calcularemos los futuros valores de las deudas y luego determinaremos el monto presente de estas deudas en un pago único realizado dentro de 6 años con un interés compuesto trimestralmente al 6%.
### Paso 1: Calcular el valor futuro de cada deuda
Primera deuda:
La primera deuda es de \[tex]$1000 con un interés compuesto del 7% anual durante 5 años. La fórmula para el valor futuro con interés compuesto anual es: \[ \text{FV} = PV \times (1 + r)^t \] donde: - PV es el valor presente (\$[/tex]1000).
- r es la tasa de interés anual (0.07).
- t es el tiempo en años (5).
Aplicamos la fórmula:
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1000 \times (1 + 0.07)^5 \][/tex]
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1000 \times (1.07)^5 \][/tex]
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1000 \times 1.4025517307 \][/tex]
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1402.55 \][/tex]
Entonces, el valor futuro de la primera deuda es \[tex]$1402.55. Segunda deuda: La segunda deuda es de \$[/tex]2000 con un interés compuesto del 8% semestralmente durante 7 años.
Para esto, necesitamos adaptar la fórmula para el interés compuesto semestral. Se compone dos veces al año, por lo tanto, la tasa de interés efectiva por período (semestral) es [tex]\( \frac{8\%}{2} = 4\% \)[/tex] y el número total de períodos es [tex]\( 7 \times 2 = 14 \)[/tex].
La fórmula para el valor futuro con interés compuesto por período es:
[tex]\[ \text{FV} = PV \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \][/tex]
donde:
- PV es el valor presente (\[tex]$2000). - r es la tasa de interés anual (0.08). - n es el número de períodos de composición por año (2). - t es el tiempo en años (7). Aplicamos la fórmula: \[ \text{FV}_2 = 2000 \times \left(1 + \frac{0.08}{2}\right)^{2 \times 7} \] \[ \text{FV}_2 = 2000 \times (1 + 0.04)^{14} \] \[ \text{FV}_2 = 2000 \times (1.04)^{14} \] \[ \text{FV}_2 = 2000 \times 1.7316764476 \] \[ \text{FV}_2 = 3463.35 \] Entonces, el valor futuro de la segunda deuda es \$[/tex]3463.35.
### Paso 2: Calcular el total de los valores futuros de las deudas
Sumamos los valores futuros de las dos deudas:
[tex]\[ \text{Total FV} = \text{FV}_1 + \text{FV}_2 \][/tex]
[tex]\[ \text{Total FV} = 1402.55 + 3463.35 \][/tex]
[tex]\[ \text{Total FV} = 4865.90 \][/tex]
### Paso 3: Calcular el valor presente del pago en 6 años al 6% compuesto trimestralmente
Para encontrar el monto del pago en el presente (dentro de 6 años), utilizaremos la fórmula del valor presente con interés compuesto trimestralmente. La tasa de interés efectiva por período es [tex]\( \frac{6\%}{4} = 1.5\% \)[/tex] y el número total de períodos es [tex]\( 6 \times 4 = 24 \)[/tex].
La fórmula para el valor presente con interés compuesto por período es:
[tex]\[ PV = \frac{\text{FV}}{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}} \][/tex]
donde:
- FV es el valor futuro total (\[tex]$4865.90). - r es la tasa de interés anual (0.06). - n es el número de períodos de composición por año (4). - t es el tiempo en años (6). Aplicamos la fórmula: \[ PV = \frac{4865.90}{\left(1 + \frac{0.06}{4}\right)^{4 \times 6}} \] \[ PV = \frac{4865.90}{\left(1 + 0.015\right)^{24}} \] \[ PV = \frac{4865.90}{(1.015)^{24}} \] \[ PV = \frac{4865.90}{1.429663} \] \[ PV = 3403.91 \] Por lo tanto, el monto del pago que se debe realizar en 6 años es de aproximadamente \$[/tex]3403.91.
### Paso 1: Calcular el valor futuro de cada deuda
Primera deuda:
La primera deuda es de \[tex]$1000 con un interés compuesto del 7% anual durante 5 años. La fórmula para el valor futuro con interés compuesto anual es: \[ \text{FV} = PV \times (1 + r)^t \] donde: - PV es el valor presente (\$[/tex]1000).
- r es la tasa de interés anual (0.07).
- t es el tiempo en años (5).
Aplicamos la fórmula:
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1000 \times (1 + 0.07)^5 \][/tex]
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1000 \times (1.07)^5 \][/tex]
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1000 \times 1.4025517307 \][/tex]
[tex]\[ \text{FV}_1 = 1402.55 \][/tex]
Entonces, el valor futuro de la primera deuda es \[tex]$1402.55. Segunda deuda: La segunda deuda es de \$[/tex]2000 con un interés compuesto del 8% semestralmente durante 7 años.
Para esto, necesitamos adaptar la fórmula para el interés compuesto semestral. Se compone dos veces al año, por lo tanto, la tasa de interés efectiva por período (semestral) es [tex]\( \frac{8\%}{2} = 4\% \)[/tex] y el número total de períodos es [tex]\( 7 \times 2 = 14 \)[/tex].
La fórmula para el valor futuro con interés compuesto por período es:
[tex]\[ \text{FV} = PV \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \][/tex]
donde:
- PV es el valor presente (\[tex]$2000). - r es la tasa de interés anual (0.08). - n es el número de períodos de composición por año (2). - t es el tiempo en años (7). Aplicamos la fórmula: \[ \text{FV}_2 = 2000 \times \left(1 + \frac{0.08}{2}\right)^{2 \times 7} \] \[ \text{FV}_2 = 2000 \times (1 + 0.04)^{14} \] \[ \text{FV}_2 = 2000 \times (1.04)^{14} \] \[ \text{FV}_2 = 2000 \times 1.7316764476 \] \[ \text{FV}_2 = 3463.35 \] Entonces, el valor futuro de la segunda deuda es \$[/tex]3463.35.
### Paso 2: Calcular el total de los valores futuros de las deudas
Sumamos los valores futuros de las dos deudas:
[tex]\[ \text{Total FV} = \text{FV}_1 + \text{FV}_2 \][/tex]
[tex]\[ \text{Total FV} = 1402.55 + 3463.35 \][/tex]
[tex]\[ \text{Total FV} = 4865.90 \][/tex]
### Paso 3: Calcular el valor presente del pago en 6 años al 6% compuesto trimestralmente
Para encontrar el monto del pago en el presente (dentro de 6 años), utilizaremos la fórmula del valor presente con interés compuesto trimestralmente. La tasa de interés efectiva por período es [tex]\( \frac{6\%}{4} = 1.5\% \)[/tex] y el número total de períodos es [tex]\( 6 \times 4 = 24 \)[/tex].
La fórmula para el valor presente con interés compuesto por período es:
[tex]\[ PV = \frac{\text{FV}}{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}} \][/tex]
donde:
- FV es el valor futuro total (\[tex]$4865.90). - r es la tasa de interés anual (0.06). - n es el número de períodos de composición por año (4). - t es el tiempo en años (6). Aplicamos la fórmula: \[ PV = \frac{4865.90}{\left(1 + \frac{0.06}{4}\right)^{4 \times 6}} \] \[ PV = \frac{4865.90}{\left(1 + 0.015\right)^{24}} \] \[ PV = \frac{4865.90}{(1.015)^{24}} \] \[ PV = \frac{4865.90}{1.429663} \] \[ PV = 3403.91 \] Por lo tanto, el monto del pago que se debe realizar en 6 años es de aproximadamente \$[/tex]3403.91.
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