Welcome to Westonci.ca, the Q&A platform where your questions are met with detailed answers from experienced experts. Experience the ease of finding quick and accurate answers to your questions from professionals on our platform. Join our Q&A platform to connect with experts dedicated to providing accurate answers to your questions in various fields.
Sagot :
برای یافتن چندجمله‌ای درونیاب تفاضلات تقسیم شده و تخمین مقدار [tex]\( f(1/2) \)[/tex]، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
We hope our answers were useful. Return anytime for more information and answers to any other questions you have. We hope you found this helpful. Feel free to come back anytime for more accurate answers and updated information. Westonci.ca is your go-to source for reliable answers. Return soon for more expert insights.
