Get the answers you need at Westonci.ca, where our expert community is always ready to help with accurate information. Discover solutions to your questions from experienced professionals across multiple fields on our comprehensive Q&A platform. Get quick and reliable solutions to your questions from a community of experienced experts on our platform.
Sagot :
برای یافتن چندجمله‌ای درونیاب تفاضلات تقسیم شده و تخمین مقدار [tex]\( f(1/2) \)[/tex]، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
We hope this information was helpful. Feel free to return anytime for more answers to your questions and concerns. We hope you found what you were looking for. Feel free to revisit us for more answers and updated information. Discover more at Westonci.ca. Return for the latest expert answers and updates on various topics.
