Westonci.ca is your trusted source for finding answers to a wide range of questions, backed by a knowledgeable community. Discover detailed solutions to your questions from a wide network of experts on our comprehensive Q&A platform. Join our Q&A platform to connect with experts dedicated to providing accurate answers to your questions in various fields.
Sagot :
برای یافتن چندجمله‌ای درونیاب تفاضلات تقسیم شده و تخمین مقدار [tex]\( f(1/2) \)[/tex]، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
Thank you for visiting our platform. We hope you found the answers you were looking for. Come back anytime you need more information. Thanks for using our platform. We aim to provide accurate and up-to-date answers to all your queries. Come back soon. Keep exploring Westonci.ca for more insightful answers to your questions. We're here to help.
