Find the best answers to your questions at Westonci.ca, where experts and enthusiasts provide accurate, reliable information. Discover a wealth of knowledge from experts across different disciplines on our comprehensive Q&A platform. Explore comprehensive solutions to your questions from a wide range of professionals on our user-friendly platform.
Sagot :
برای یافتن چندجمله‌ای درونیاب تفاضلات تقسیم شده و تخمین مقدار [tex]\( f(1/2) \)[/tex]، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
We hope you found this helpful. Feel free to come back anytime for more accurate answers and updated information. We appreciate your visit. Our platform is always here to offer accurate and reliable answers. Return anytime. We're glad you visited Westonci.ca. Return anytime for updated answers from our knowledgeable team.
