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Sagot :
Claro, voy a detallar paso a paso el proceso para resolver este ejercicio de la ecuación de onda [tex]\( y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \)[/tex].
### Parámetros Dado:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
- La amplitud de la onda, [tex]\( A \)[/tex], es el coeficiente que multiplica a la función seno.
### 1. Amplitud
La amplitud, [tex]\( A \)[/tex], es el valor máximo que toma la función seno:
[tex]\[ A = 12 \text{ cm} \][/tex]
### 2. Número de onda
El número de onda, [tex]\( k \)[/tex], está asociado con el término que acompaña a [tex]\( x \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ k = \pi \][/tex]
### 3. Frecuencia angular
La frecuencia angular, [tex]\( \omega \)[/tex], está asociada con el término que acompaña a [tex]\( t \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ \omega = 115\pi \][/tex]
### 4. Longitud de onda
La longitud de onda, [tex]\( \lambda \)[/tex], se relaciona con el número de onda mediante la fórmula:
[tex]\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \][/tex]
Despejando [tex]\( \lambda \)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ cm} \][/tex]
### 5. Período
El período, [tex]\( T \)[/tex], se relaciona con la frecuencia angular mediante la fórmula:
[tex]\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \][/tex]
Despejando [tex]\( T \)[/tex]:
[tex]\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{115\pi} = \frac{2}{115} \approx 0.0174 \text{ s} \][/tex]
### 6. Frecuencia
La frecuencia, [tex]\( f \)[/tex], es la inversa del período:
[tex]\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.0174} = 57.5 \text{ Hz} \][/tex]
### 7. Velocidad de propagación
La velocidad de propagación, [tex]\( v \)[/tex], de la onda se calcula como el producto de la longitud de onda y la frecuencia:
[tex]\[ v = \lambda \cdot f = 2 \text{ cm} \cdot 57.5 \text{ Hz} = 115 \text{ cm/s} \][/tex]
### 8. Sentido de propagación
Para determinar el sentido de propagación, observamos los términos dentro de la función seno:
- Si está en la forma [tex]\( \sin(kx - \omega t) \)[/tex], la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
En este caso, la ecuación está en la forma:
[tex]\[ \sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
Por lo tanto, la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
### 9. Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]
Sustituimos [tex]\( x = 5 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi \cdot 5 - 115\pi t) = 12\sin(5\pi - 115\pi t) = 12\sin(5\pi(1 - 23t)) \][/tex]
Dado que [tex]\( \sin(\theta + 2n\pi) = \sin(\theta) \)[/tex], simplificamos:
[tex]\[ y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \][/tex]
### 10. Umax
[tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex] es simplemente la amplitud de la onda:
[tex]\[ U_{\text{max}} = 12 \text{ cm} \][/tex]
### Resumen
- Amplitud: [tex]\( 12 \text{ cm} \)[/tex]
- Número de onda: [tex]\( \pi \)[/tex]
- Frecuencia angular: [tex]\( 115\pi \)[/tex]
- Longitud de onda: [tex]\( 2 \text{ cm} \)[/tex]
- Período: [tex]\( 0.0174 \text{ s} \)[/tex]
- Frecuencia: [tex]\( 57.5 \text{ Hz} \)[/tex]
- Velocidad: [tex]\( 115 \text{ cm/s} \)[/tex]
- Sentido de propagación: Dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex]
- Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]: [tex]\( y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \)[/tex]
- [tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex]: [tex]\( 12 \)[/tex] cm
Estos valores describen completamente la naturaleza de la onda dada en la ecuación [tex]\( y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \)[/tex].
### Parámetros Dado:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
- La amplitud de la onda, [tex]\( A \)[/tex], es el coeficiente que multiplica a la función seno.
### 1. Amplitud
La amplitud, [tex]\( A \)[/tex], es el valor máximo que toma la función seno:
[tex]\[ A = 12 \text{ cm} \][/tex]
### 2. Número de onda
El número de onda, [tex]\( k \)[/tex], está asociado con el término que acompaña a [tex]\( x \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ k = \pi \][/tex]
### 3. Frecuencia angular
La frecuencia angular, [tex]\( \omega \)[/tex], está asociada con el término que acompaña a [tex]\( t \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ \omega = 115\pi \][/tex]
### 4. Longitud de onda
La longitud de onda, [tex]\( \lambda \)[/tex], se relaciona con el número de onda mediante la fórmula:
[tex]\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \][/tex]
Despejando [tex]\( \lambda \)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ cm} \][/tex]
### 5. Período
El período, [tex]\( T \)[/tex], se relaciona con la frecuencia angular mediante la fórmula:
[tex]\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \][/tex]
Despejando [tex]\( T \)[/tex]:
[tex]\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{115\pi} = \frac{2}{115} \approx 0.0174 \text{ s} \][/tex]
### 6. Frecuencia
La frecuencia, [tex]\( f \)[/tex], es la inversa del período:
[tex]\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.0174} = 57.5 \text{ Hz} \][/tex]
### 7. Velocidad de propagación
La velocidad de propagación, [tex]\( v \)[/tex], de la onda se calcula como el producto de la longitud de onda y la frecuencia:
[tex]\[ v = \lambda \cdot f = 2 \text{ cm} \cdot 57.5 \text{ Hz} = 115 \text{ cm/s} \][/tex]
### 8. Sentido de propagación
Para determinar el sentido de propagación, observamos los términos dentro de la función seno:
- Si está en la forma [tex]\( \sin(kx - \omega t) \)[/tex], la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
En este caso, la ecuación está en la forma:
[tex]\[ \sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
Por lo tanto, la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
### 9. Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]
Sustituimos [tex]\( x = 5 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi \cdot 5 - 115\pi t) = 12\sin(5\pi - 115\pi t) = 12\sin(5\pi(1 - 23t)) \][/tex]
Dado que [tex]\( \sin(\theta + 2n\pi) = \sin(\theta) \)[/tex], simplificamos:
[tex]\[ y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \][/tex]
### 10. Umax
[tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex] es simplemente la amplitud de la onda:
[tex]\[ U_{\text{max}} = 12 \text{ cm} \][/tex]
### Resumen
- Amplitud: [tex]\( 12 \text{ cm} \)[/tex]
- Número de onda: [tex]\( \pi \)[/tex]
- Frecuencia angular: [tex]\( 115\pi \)[/tex]
- Longitud de onda: [tex]\( 2 \text{ cm} \)[/tex]
- Período: [tex]\( 0.0174 \text{ s} \)[/tex]
- Frecuencia: [tex]\( 57.5 \text{ Hz} \)[/tex]
- Velocidad: [tex]\( 115 \text{ cm/s} \)[/tex]
- Sentido de propagación: Dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex]
- Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]: [tex]\( y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \)[/tex]
- [tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex]: [tex]\( 12 \)[/tex] cm
Estos valores describen completamente la naturaleza de la onda dada en la ecuación [tex]\( y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \)[/tex].
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