Vamos a construir la tabla de verdad para las dos proposiciones dadas y determinar si una de ellas es una tautología, contradicción o contingencia.
La primera proposición que vamos a analizar es:
[tex]\[
(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\neg p \vee q)
\][/tex]
Para ello, construiremos la tabla de verdad paso a paso:
[tex]\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & p \rightarrow q & \neg p \vee q & (p \rightarrow q) \leftrightarrow (\neg p \vee q) \\
\hline
V & V & V & V & V \\
V & F & F & F & V \\
F & V & V & V & V \\
F & F & V & V & V \\
\hline
\end{array}
\][/tex]
De acuerdo con la tabla de verdad, podemos observar que la columna para [tex]\((p \rightarrow q) \leftrightarrow (\neg p \vee q)\)[/tex] es siempre \text{VERDADERA} sin importar los valores de [tex]\(p\)[/tex] y [tex]\(q\)[/tex].
Por lo tanto, podemos concluir que la proposición [tex]\((p \rightarrow q) \leftrightarrow (\neg p \vee q)\)[/tex] es una tautología.
Ahora, vamos a construir la tabla de verdad para la segunda proposición: [tex]\(((p \rightarrow q) \wedge p) \wedge \neg q\)[/tex]
[tex]\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & p \rightarrow q & (p \rightarrow q) \wedge p & \neg q & ((p \rightarrow q) \wedge p) \wedge \neg q \\
\hline
V & V & V & V & F & F \\
V & F & F & F & V & F \\
F & V & V & F & F & F \\
F & F & V & F & V & F \\
\hline
\end{array}
\][/tex]
En este caso, podemos observar que la columna para [tex]\(((p \rightarrow q) \wedge p) \wedge \neg q\)[/tex] es siempre \text{FALSA} sin importar los valores de [tex]\(p\)[/tex] y [tex]\(q\)[/tex].
Por lo tanto, podemos concluir que la proposición [tex]\(((p \rightarrow q) \wedge p) \wedge \neg q\)[/tex] es una contradicción.
