Claro, resolvamos este problema paso a paso.
1. Datos del problema:
- Perímetro del triángulo rectángulo: 90 cm.
- Coseno de uno de los ángulos agudos: [tex]\( \cos(\theta) = \frac{12}{13} \)[/tex].
2. Relaciones trigonométricas:
En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
[tex]\[
\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}
\][/tex]
Dado que [tex]\( \cos(\theta) = \frac{12}{13} \)[/tex], podemos identificar:
[tex]\[
\text{cateto adyacente} = 12 \quad \text{y} \quad \text{hipotenusa} = 13
\][/tex]
3. Uso del Teorema de Pitágoras:
Para encontrar el cateto opuesto, utilizamos el teorema de Pitágoras:
[tex]\[
\text{hipotenusa}^2 = (\text{cateto adyacente})^2 + (\text{cateto opuesto})^2
\][/tex]
Sustituyendo los valores que tenemos:
[tex]\[
13^2 = 12^2 + (\text{cateto opuesto})^2
\][/tex]
[tex]\[
169 = 144 + (\text{cateto opuesto})^2
\][/tex]
[tex]\[
(\text{cateto opuesto})^2 = 169 - 144
\][/tex]
[tex]\[
(\text{cateto opuesto})^2 = 25
\][/tex]
[tex]\[
\text{cateto opuesto} = \sqrt{25} = 5
\][/tex]
4. Perímetro del triángulo original:
El perímetro sumando los lados del triángulo es:
[tex]\[
\text{Perímetro} = \text{cateto adyacente} + \text{cateto opuesto} + \text{hipotenusa}
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
\text{Perímetro} = 12 + 5 + 13 = 30
\][/tex]
5. Escalado del triángulo:
Sabemos que el perímetro del triángulo dado es 90 cm, por lo tanto, la escala de ampliación lo calculamos dividiendo el perímetro dado entre el perímetro del triángulo original:
[tex]\[
\text{Escala} = \frac{90}{30} = 3
\][/tex]
6. Longitud de la hipotenusa escalada:
La hipotenusa del triángulo escalada será:
[tex]\[
\text{Hipotenusa escalada} = \text{hipotenusa original} \times \text{escala} = 13 \times 3 = 39
\][/tex]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo es 39 cm. La respuesta correcta es:
D) 39
