Para resolver la suma de los factores primos del polinomio [tex]\( x^4 - 10x^2 + 9 \)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Descomponer el polinomio en factores primos:
Tenemos el polinomio:
[tex]\[
x^4 - 10x^2 + 9
\][/tex]
Primero, reescribimos el polinomio de una forma más conveniente para factorizarlo. Notamos que este polinomio puede ser considerado como un trinomio cuadrado en términos de [tex]\( x^2 \)[/tex]:
[tex]\[
(x^2)^2 - 10(x^2) + 9
\][/tex]
Factorizando esto, buscamos dos números que multiplicados nos den 9 y sumados nos den -10. Estos números son -1 y -9. Así, podemos factorizar:
[tex]\[
(x^2 - 1)(x^2 - 9)
\][/tex]
2. Simplificar y factorizar completamente:
Continuamos factorizando completamente cada término:
[tex]\[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
\][/tex]
[tex]\[
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
\][/tex]
Así, el polinomio original se puede reescribir completamente factorizado como:
[tex]\[
(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)
\][/tex]
3. Calcular la suma de los factores primos:
Observamos que los factores primos (considerando los factores básicos sin multiplicidad) son:
[tex]\[
x - 1, \quad x + 1, \quad x - 3, \quad x + 3
\][/tex]
Para encontrar la "suma de los factores primos", sumamos los términos lineales considerando sus coeficientes:
[tex]\[
(x - 1) + (x + 1) + (x - 3) + (x + 3)
\][/tex]
Simplificando, sumamos los términos constantes y combinamos términos semejantes:
[tex]\[
x + x + x + x - 1 + 1 - 3 + 3 = 4x - 1 + 1 - 3 + 3
\][/tex]
Las constantes se cancelan:
[tex]\[
4x
\][/tex]
Finalmente, la suma de los factores primos del polinomio [tex]\( x^4 - 10x^2 + 9 \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{4x}
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
A) [tex]\( 4x \)[/tex]
