Para resolver el problema, sigamos estos pasos:
1. Encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex] para que [tex]\( x^x = 3 \)[/tex]:
Dados valores de [tex]\( x \)[/tex] que satisfacen la ecuación [tex]\( x^x = 3 \)[/tex], uno de estos valores puede ser representado por [tex]\( x = e^{W(\log 3)} \)[/tex], donde [tex]\( W \)[/tex] es la función Lambert W.
2. Evaluamos la expresión [tex]\( E \)[/tex]:
La fórmula dada para [tex]\( E \)[/tex] es:
[tex]\[
E = \frac{x^{x^{1+x}}}{\left[ \sqrt{x \sqrt{x \cdots \sqrt{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{x}}} \right]^x}
\][/tex]
La expresión dentro del denominador contiene infinitas raíces. Para simplificar, consideramos una representación más manejable para el análisis.
3. Simplificación del denominador:
- Observando la estructura de las raíces:
- La primera parte, [tex]\(\sqrt{x \sqrt{x \cdots \sqrt{x}}}\)[/tex], puede aproximarse como [tex]\( x^{1/2} \)[/tex].
- La segunda parte, [tex]\(\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{x}}}\)[/tex], puede aproximarse como [tex]\( x^{1/4} \)[/tex].
- Así, generalizamos el denominador como [tex]\( (x^{1/2} \cdot x^{1/4})^x = (x^{1/2 + 1/4})^x = x^{(1/2 + 1/4)x} = x^{3/4x} \)[/tex].
4. Evaluamos [tex]\( E \)[/tex]:
La expresión simplificada para [tex]\( E \)[/tex] se convierte en:
[tex]\[
E = \frac{x^{x^{1+x}}}{(x^{3/4})^x} = \frac{x^{x^{1+x}}}{x^{3x/4}} = x^{x^{1+x} - 3x/4}
\][/tex]
Donde [tex]\( x^{1+x} - 3x/4 = x(1+x) - 3x/4 \)[/tex].
5. Sustituir el valor de [tex]\( x \)[/tex]:
Dado [tex]\( x = e^{W(\log 3)} \)[/tex], sustituimos y simplificamos:
[tex]\[
E = e^{W(\log 3)^{1 + W(\log 3)} - 3/4 W(\log 3)}
\][/tex]
Evaluamos numéricamente la expresión resultando en aproximadamente [tex]\( 11.845 \)[/tex].
6. Comparación con las opciones dadas:
Las opciones son: 3, 9, 27, [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex], [tex]\( \frac{1}{9} \)[/tex].
El valor más cercano a nuestro resultado numérico es 27.
Por lo tanto, el valor de [tex]\( E \)[/tex] es:
[tex]\[ \boxed{27} \][/tex]
