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Sagot :
Para resolver el problema y relacionar las expresiones dadas con las opciones proporcionadas, evaluamos cada una de las expresiones trigonométricas y las comparamos con las opciones correspondientes. Vamos a proceder paso a paso con cada expresión y con cada opción.
Comencemos analizando las expresiones individuales:
### Expresión I: [tex]$14 \operatorname{sen} 30^{\circ} - 10 \cos 53^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{sen} 30^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
2. [tex]\( \cos 53^{\circ} \approx 0.6018 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 14 \cdot 0.5 - 10 \cdot 0.6018 = 7 - 6.018 = 0.982 \][/tex]
### Expresión II: [tex]$8 \operatorname{tg} 37^{\circ} + 7 \operatorname{Csc} 16^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{tg} 37^{\circ} \approx 0.7536 \)[/tex]
2. [tex]\( \operatorname{Csc} 16^{\circ} = \frac{1}{\operatorname{sen} 16^{\circ}} \approx 3.5763 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 8 \cdot 0.7536 + 7 \cdot 3.5763 = 6.0288 + 25.0341 = 31.063 \][/tex]
### Expresión III: [tex]$\operatorname{ctg} 45^{\circ} + \operatorname{sen} 30^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{ctg} 45^{\circ} = 1 \)[/tex]
2. [tex]\( \operatorname{sen} 30^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 1 + 0.5 = 1.5 \][/tex]
Ahora evaluamos las opciones:
### Opción A: [tex]$3 \cos 60^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \cos 60^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 3 \cdot 0.5 = 1.5 \][/tex]
### Opción B: [tex]$\operatorname{tg} 45^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1 \)[/tex]
### Opción C: [tex]$16 \operatorname{sen} 30^{\circ} \cdot \csc^2 30^{\circ} - 1$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{sen} 30^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
2. [tex]\( \operatorname{csc} 30^{\circ} = \frac{1}{\operatorname{sen} 30^{\circ}} = 2 \)[/tex]
3. [tex]\( \csc^2 30^{\circ} = 4 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 16 \cdot 0.5 \cdot 4 - 1 = 32 - 1 = 31 \][/tex]
Comparando los resultados obtenidos:
1. Para la expresión I ([tex]$0.982$[/tex]), no hay ninguna opción que coincida aproximadamente.
2. Para la expresión II ([tex]$31.063$[/tex]), corresponde a la Opción C ([tex]$31$[/tex]).
3. Para la expresión III ([tex]$1.5$[/tex]), corresponde a la Opción A ([tex]$1.5$[/tex]).
Entonces el mapeo correcto es:
[tex]\[ \text{I: ninguna opción}, \text{II: C}, \text{III: A} \][/tex]
La respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{\text{INone, IIC, IIIA}} \][/tex]
Comencemos analizando las expresiones individuales:
### Expresión I: [tex]$14 \operatorname{sen} 30^{\circ} - 10 \cos 53^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{sen} 30^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
2. [tex]\( \cos 53^{\circ} \approx 0.6018 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 14 \cdot 0.5 - 10 \cdot 0.6018 = 7 - 6.018 = 0.982 \][/tex]
### Expresión II: [tex]$8 \operatorname{tg} 37^{\circ} + 7 \operatorname{Csc} 16^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{tg} 37^{\circ} \approx 0.7536 \)[/tex]
2. [tex]\( \operatorname{Csc} 16^{\circ} = \frac{1}{\operatorname{sen} 16^{\circ}} \approx 3.5763 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 8 \cdot 0.7536 + 7 \cdot 3.5763 = 6.0288 + 25.0341 = 31.063 \][/tex]
### Expresión III: [tex]$\operatorname{ctg} 45^{\circ} + \operatorname{sen} 30^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{ctg} 45^{\circ} = 1 \)[/tex]
2. [tex]\( \operatorname{sen} 30^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 1 + 0.5 = 1.5 \][/tex]
Ahora evaluamos las opciones:
### Opción A: [tex]$3 \cos 60^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \cos 60^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 3 \cdot 0.5 = 1.5 \][/tex]
### Opción B: [tex]$\operatorname{tg} 45^{\circ}$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1 \)[/tex]
### Opción C: [tex]$16 \operatorname{sen} 30^{\circ} \cdot \csc^2 30^{\circ} - 1$[/tex]
1. [tex]\( \operatorname{sen} 30^{\circ} = 0.5 \)[/tex]
2. [tex]\( \operatorname{csc} 30^{\circ} = \frac{1}{\operatorname{sen} 30^{\circ}} = 2 \)[/tex]
3. [tex]\( \csc^2 30^{\circ} = 4 \)[/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ 16 \cdot 0.5 \cdot 4 - 1 = 32 - 1 = 31 \][/tex]
Comparando los resultados obtenidos:
1. Para la expresión I ([tex]$0.982$[/tex]), no hay ninguna opción que coincida aproximadamente.
2. Para la expresión II ([tex]$31.063$[/tex]), corresponde a la Opción C ([tex]$31$[/tex]).
3. Para la expresión III ([tex]$1.5$[/tex]), corresponde a la Opción A ([tex]$1.5$[/tex]).
Entonces el mapeo correcto es:
[tex]\[ \text{I: ninguna opción}, \text{II: C}, \text{III: A} \][/tex]
La respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{\text{INone, IIC, IIIA}} \][/tex]
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