Para resolver este problema, primero interpretamos correctamente la notación de los intervalos y luego realizamos la unión de estos intervalos.
1. Interpretación de los intervalos:
- El intervalo [tex]\((-1, 3]\)[/tex] incluye todos los números reales mayores que [tex]\(-1\)[/tex] y menores o iguales a [tex]\(3\)[/tex].
- El intervalo [tex]\((2, \infty)\)[/tex] incluye todos los números reales mayores que [tex]\(2\)[/tex].
- El intervalo [tex]\((0, 3)\)[/tex] incluye todos los números reales mayores que [tex]\(0\)[/tex] y menores que [tex]\(3\)[/tex].
2. Expansión de los intervalos:
- [tex]\((-1, 3]\)[/tex] puede reescribirse como:
[tex]\[
-1 < x \leq 3
\][/tex]
- [tex]\((2, \infty)\)[/tex] puede reescribirse como:
[tex]\[
x > 2
\][/tex]
- [tex]\((0, 3)\)[/tex] puede reescribirse como:
[tex]\[
0 < x < 3
\][/tex]
3. Encontrar la unión de los intervalos:
Para encontrar la unión, necesitamos determinar todos los valores que están incluidos en al menos uno de los intervalos:
- El primer intervalo [tex]\((-1, 3]\)[/tex] cubre todos los números desde [tex]\(-1\)[/tex] hasta [tex]\(3\)[/tex], sin incluir [tex]\(-1\)[/tex].
- El segundo intervalo [tex]\((2, \infty)\)[/tex] cubre los números mayores que [tex]\(2\)[/tex].
- El tercer intervalo [tex]\((0, 3)\)[/tex] cubre los números mayores que [tex]\(0\)[/tex] y menores que [tex]\(3\)[/tex].
Al unir estos intervalos, consideramos:
- Desde [tex]\(-1\)[/tex] hasta [tex]\(0\)[/tex], no hay ningún número compartido por los intervalos, por lo que esta sección solo está cubierta por [tex]\((-1, 3]\)[/tex].
- Desde [tex]\(0\)[/tex] hasta [tex]\(3\)[/tex], las secciones de [tex]\((0, 3)\)[/tex] y [tex]\((-1, 3]\)[/tex] se superponen.
- Desde [tex]\(2\hspace{0.1cm}\)[/tex] hasta [tex]\(\hspace{0.1cm}\infty\)[/tex], las secciones de [tex]\((2, \infty)\)[/tex] se superponen con las otras dos.
La unión de todos estos intervalos resulta en:
[tex]\[
\boxed{(-1, \infty)}
\][/tex]
Por tanto, la respuesta a la unión de los intervalos [tex]\((-1, 3]\)[/tex], [tex]\((2, \infty)\)[/tex] y [tex]\((0, 3)\)[/tex] es [tex]\((-1, \infty)\)[/tex].
