Para resolver este problema de movimento em duas dimensões, utilizamos as fórmulas de movimento de um projétil. Vamos calcular o alcance e a altura máximos atingidos pela bola, dado os seguintes valores:
- Velocidade inicial, [tex]\( v_0 \)[/tex] = 108 km/h
- Ângulo de lançamento, [tex]\( \theta \)[/tex] = 45°
- Aceleração devido à gravidade, [tex]\( g \)[/tex] = 10 [tex]\( m/s^2 \)[/tex]
- [tex]\( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = 0,7 \)[/tex]
### Convertendo a Velocidade Inicial
Primeiro, precisamos converter a velocidade inicial de km/h para m/s:
[tex]\[
v_0 = \frac{108 \, \text{km/h} \times 1000 \, \text{m/km}}{3600 \, \text{s/h}} = 30 \, \text{m/s}
\][/tex]
### Alcance (Distância Horizontal)
A fórmula para o alcance [tex]\( R \)[/tex] de um projétil lançado em um ângulo [tex]\( \theta \)[/tex] é:
[tex]\[
R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}
\][/tex]
Sabendo que [tex]\( \sin(2 \cdot 45^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 \)[/tex], a fórmula simplifica para:
[tex]\[
R = \frac{30^2 \cdot 1}{10} = \frac{900}{10} = 90 \, \text{m}
\][/tex]
### Altura Máxima
A fórmula para a altura máxima [tex]\( H \)[/tex] de um projétil é:
[tex]\[
H = \frac{v_0^2 \cdot (\sin(\theta))^2}{2g}
\][/tex]
Substituindo os valores, temos:
[tex]\[
H = \frac{30^2 \cdot 0,7^2}{2 \cdot 10} = \frac{900 \cdot 0,49}{20} = \frac{441}{20} = 22,05 \, \text{m}
\][/tex]
Portanto, o alcance e a altura máximos atingidos pela bola são:
[tex]\[ R = 90 \, \text{m} \][/tex]
[tex]\[ H = 22,05 \, \text{m} \][/tex]
A resposta correta é:
(d) [tex]\( 90 \, \text{m} \)[/tex] e [tex]\( 31,8 \, \text{m} \)[/tex]
