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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso:
### a. ¿Cuál es la altura máxima?
Sabemos que la velocidad del objeto cuando alcanza la mitad de la altura máxima es de 24 m/s. Usando las ecuaciones de movimiento cinemático, se puede determinar la altura máxima.
Primero, determinamos la energía cinética en la mitad de la altura y la igualamos a la energía potencial que se ganará al alcanzar esa altura.
La fórmula empleada es:
[tex]\[ v^2 = u^2 + 2as \][/tex]
Considerando la subida hasta la mitad de la altura máxima:
[tex]\[ u = 24 \text{ m/s} \][/tex]
[tex]\[ a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
[tex]\[ v = 0 \text{ m/s (al alcanzar la altura máxima)} \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( s \)[/tex] que es la mitad de la altura máxima:
[tex]\[ 0 = (24)^2 + 2(-9.8)s_{\text{half}} \][/tex]
Despejando [tex]\( s_{\text{half}} \)[/tex]:
[tex]\[ s_{\text{half}} = \frac{(24)^2}{2 \times 9.8} \][/tex]
Dado que [tex]\( s_{\text{half}} \)[/tex] es la mitad de la altura máxima, la altura máxima será el doble:
[tex]\[ \text{Altura máxima} = 2 \times s_{\text{half}} = 58.77551020408163 \text{ m} \][/tex]
### b. ¿Qué tiempo tarda en alcanzarla?
Para determinar el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, usamos la ecuación de velocidad:
[tex]\[ v = u + at \][/tex]
Donde:
[tex]\[ v = 0 \text{ m/s (al alcanzar la altura máxima)} \][/tex]
[tex]\[ u = 24 \text{ m/s (velocidad en la mitad de la altura máxima)} \][/tex]
[tex]\[ a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( t_{\text{half}} \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 24 + (-9.8)t_{\text{half}} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{half}} = \frac{24}{9.8} \][/tex]
El tiempo total para alcanzar la altura máxima será el doble del tiempo hasta la mitad de la altura máxima:
[tex]\[ t_{\text{max}} = 2 \times t_{\text{half}} = 4.897959183673469 \text{ s} \][/tex]
### c. ¿Con qué velocidad se lanzó?
Para encontrar la velocidad inicial con la que se lanzó el objeto, usamos nuevamente la ecuación cinemática pero ahora desde el lanzamiento hasta la altura máxima:
Sabemos que la altura máxima alcanzada es 58.77551020408163 m.
Usamos la fórmula:
[tex]\[ v^2 = u^2 + 2as \][/tex]
Para la altura máxima:
[tex]\[ v = 0 \text{ m/s (al alcanzar la altura máxima)} \][/tex]
[tex]\[ s = 58.77551020408163 \text{ m} \][/tex]
[tex]\[ a = -9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( u_{\text{initial}} \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = u_{\text{initial}}^2 - 2(9.8)(58.77551020408163) \][/tex]
[tex]\[ u_{\text{initial}} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 58.77551020408163} \][/tex]
[tex]\[ u_{\text{initial}} = 33.94112549695428 \text{ m/s} \][/tex]
### d. ¿Qué tiempo tarda en alcanzar una velocidad de 24 m/s hacia abajo?
Para determinar el tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 24 m/s hacia abajo, utilizamos la ecuación de la velocidad nuevamente partiendo del reposo en la altura máxima:
[tex]\[ v = u + at \][/tex]
Donde:
[tex]\[ v = -24 \text{ m/s (velocidad hacia abajo)} \][/tex]
[tex]\[ u = 0 \text{ m/s (al comenzar a descender)} \][/tex]
[tex]\[ a = 9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
[tex]\[ -24 = 0 + 9.8t \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{24}{9.8} \][/tex]
[tex]\[ t = 2.4489795918367343 \text{ s} \][/tex]
Así, hemos calculado cada una de las partes del problema con detalle.
### a. ¿Cuál es la altura máxima?
Sabemos que la velocidad del objeto cuando alcanza la mitad de la altura máxima es de 24 m/s. Usando las ecuaciones de movimiento cinemático, se puede determinar la altura máxima.
Primero, determinamos la energía cinética en la mitad de la altura y la igualamos a la energía potencial que se ganará al alcanzar esa altura.
La fórmula empleada es:
[tex]\[ v^2 = u^2 + 2as \][/tex]
Considerando la subida hasta la mitad de la altura máxima:
[tex]\[ u = 24 \text{ m/s} \][/tex]
[tex]\[ a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
[tex]\[ v = 0 \text{ m/s (al alcanzar la altura máxima)} \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( s \)[/tex] que es la mitad de la altura máxima:
[tex]\[ 0 = (24)^2 + 2(-9.8)s_{\text{half}} \][/tex]
Despejando [tex]\( s_{\text{half}} \)[/tex]:
[tex]\[ s_{\text{half}} = \frac{(24)^2}{2 \times 9.8} \][/tex]
Dado que [tex]\( s_{\text{half}} \)[/tex] es la mitad de la altura máxima, la altura máxima será el doble:
[tex]\[ \text{Altura máxima} = 2 \times s_{\text{half}} = 58.77551020408163 \text{ m} \][/tex]
### b. ¿Qué tiempo tarda en alcanzarla?
Para determinar el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, usamos la ecuación de velocidad:
[tex]\[ v = u + at \][/tex]
Donde:
[tex]\[ v = 0 \text{ m/s (al alcanzar la altura máxima)} \][/tex]
[tex]\[ u = 24 \text{ m/s (velocidad en la mitad de la altura máxima)} \][/tex]
[tex]\[ a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( t_{\text{half}} \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 24 + (-9.8)t_{\text{half}} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{half}} = \frac{24}{9.8} \][/tex]
El tiempo total para alcanzar la altura máxima será el doble del tiempo hasta la mitad de la altura máxima:
[tex]\[ t_{\text{max}} = 2 \times t_{\text{half}} = 4.897959183673469 \text{ s} \][/tex]
### c. ¿Con qué velocidad se lanzó?
Para encontrar la velocidad inicial con la que se lanzó el objeto, usamos nuevamente la ecuación cinemática pero ahora desde el lanzamiento hasta la altura máxima:
Sabemos que la altura máxima alcanzada es 58.77551020408163 m.
Usamos la fórmula:
[tex]\[ v^2 = u^2 + 2as \][/tex]
Para la altura máxima:
[tex]\[ v = 0 \text{ m/s (al alcanzar la altura máxima)} \][/tex]
[tex]\[ s = 58.77551020408163 \text{ m} \][/tex]
[tex]\[ a = -9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( u_{\text{initial}} \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = u_{\text{initial}}^2 - 2(9.8)(58.77551020408163) \][/tex]
[tex]\[ u_{\text{initial}} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 58.77551020408163} \][/tex]
[tex]\[ u_{\text{initial}} = 33.94112549695428 \text{ m/s} \][/tex]
### d. ¿Qué tiempo tarda en alcanzar una velocidad de 24 m/s hacia abajo?
Para determinar el tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 24 m/s hacia abajo, utilizamos la ecuación de la velocidad nuevamente partiendo del reposo en la altura máxima:
[tex]\[ v = u + at \][/tex]
Donde:
[tex]\[ v = -24 \text{ m/s (velocidad hacia abajo)} \][/tex]
[tex]\[ u = 0 \text{ m/s (al comenzar a descender)} \][/tex]
[tex]\[ a = 9.8 \text{ m/s}^2 \][/tex]
[tex]\[ -24 = 0 + 9.8t \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{24}{9.8} \][/tex]
[tex]\[ t = 2.4489795918367343 \text{ s} \][/tex]
Así, hemos calculado cada una de las partes del problema con detalle.
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